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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A, B互斥, 那么 P(A?B)?P(A)?P(B)
4·球的体积公式V??R3.
3其中R表示球的半径.
·棱柱的体积公式V=Sh，
其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.
·如果事件A, B相互独立, 那么 P(AB)?P(A)P(B)
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一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A?B?
(A) (??,2]
(B) [1,2]
(C) [－2,2]
(D) [－2,1]
?3x?y?6?0,?(2) 设变量x, y满足约束条件?x?y?2?0,则目标函数z =
?y?3?0,?y－2x的最小值为
(A) －7 (C) 1
(B) －4 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为
(A) 64 (C) 512
(B) 73 (D) 585
(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的
11, 则其体积缩小到原来的; 28②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆x2?y2?其中真命题的序号是:
(A) ①②③ (C) ②③
(B) ①② (D) ②③
1相切. 2x2y2(5) 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线与抛物线y2?2px(p?0)的准线分别交
ab于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为3, 则p =
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(A) 1 (B)
3 2(C) 2 (D) 3
(6) 在△ABC中, ?ABC?
(A)
10 10?4,AB?2,BC?3,则sin?BAC =
(B)
10 5(C)
310 10(D)
5 5(7) 函数f(x)?2x|log0.5x|?1的零点个数为
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(8) 已知函数f(x)?x(1?a|x|). 设关于x的不等式f(x?a)?f(x) 的解集为A, 若?11???2,2??A, 则实数a的取值范围是 ??
?1?5?(A) ??2,0??
??
?1?3?(B) ??2,0??
???1?5???,(D) ?? ??2??
?1?5??1?3?(C) ?????2,0??0,2??
????
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = . 1??(10) ?x?? 的二项展开式中的常数项为 .
x??
6 _
???
(11) 已知圆的极坐标方程为??4cos?, 圆心为C, 点P的极坐标为?4,?, 则|CP| = .
?3?
(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, ?BAD?60?, E为CD的中点. 若AD·BE?1, 则AB的长为 .
(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若
AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .
(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时,
三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)
1|a|取得最小值. ?2|a|b???已知函数f(x)??2sin?2x???6sinxcosx?2cos2x?1,x?R.
4??(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
???(Ⅱ) 求f(x)在区间?0,?上的最大值和最小值.
?2?
(16) (本小题满分13分)
一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
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(17) (本小题满分13分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面
ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB =
2, E为棱AA1的中点.
(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长.
(18) (本小题满分13分)
2, 求线段AM6x2y23设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆
3ab截得的线段长为43. 3(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.
(19) (本小题满分14分) 已知首项为
3的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, 2S4 + a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
2013年天津地区高等考试数学试卷(理科)及答案解析(整编)
