^`
系到居民的生活居住等问题，相对于日常消费，房产的消费在居民消费中占了比重较大的一部分。房价的变动影响了消费，CPI也随之变动。这样，我们便在房价与居民消费价格指数（CPI）之间建立从房价变动到供求变动，再到房价变动引起房产消费开支增减，最后引起CPI）值的变化。 5.4 问题四的建立与求解 5.4.1 线性规划模型的建立
在不考虑投资风险的情况下，给定100万元，考虑到各个指标三年后的投资上限及各个指标的投资利润率，我们得出目标函数，即三年后最大总资金：
Max{Z3?100???XijWj}
i?1j?138下面是对约束条件的讨论：
第i(1?i?3)年年初的总资金为前i年获利加
Zi?Zi?1?Xi?Yi 每年投资总额不超过每年年初的总资金
Xi?Zi?1 每年对各个指标的投资不能超过该指标的投资上限
Xij?Pj 第i年年初总投资等于第i年对各项指标投资总和
Xi??Xij
j?18综上所述，得到问题四的最优化模型：
Max{Z3?100???XijWj}
i?1j?138???Zi?Zi?1?Xi?Yi?Xi?Zi?1? s..t?Xij?Pj?8?X??X?ij?1ij??X,Y,Z?05.4.2模型的求解
基于上面的线性优化模型，我们搜集每组数据，包括近几年分行业投资总数，近几年各个行业生产总值，并查阅资料得到CPI指标各项指标投资收益率，显然，模型中最重要的数据即为投资收益率。在收集到数据后，搞清楚各个对应关系，我们利用Lingo软件，编写适当程序，得到是收益最大的情况下，各项指标的最优化配置，即100万元分配给八项指标的钱数。具体数值见下表：
表5 投资各项指标具体数值 指 食 烟酒 衣 家庭设备用品 医疗保 交通 娱乐教育文化 居 ^`
标 投资 （万元） 品 34.6 用品 0 着 0 及维修服务 0 健和个人用品 0 通信 0 用品及服务 21.6 住 43.8 由表4可得出收益最大是投资各项指标的值，即投资食品类34.6万元，投资娱乐教育文化用品及服务21.6万元，投资居住43.8万元。结合各项指标的收益率，最终求得三年后的最大收益为121.4万元。 5.4.3灵敏度分析
在对上一问的求解后，我们对结果的灵敏度分析得出下表：
表6 投资灵敏度分析 投资（万元） Z3 85 118.9105 95 119.3463 105 124.7126 115 127.0953 由上表可知，当原有总资金在20亿左右变动时，第五年末的总资金与原有资金成正相关关系，即当原有资金减少时，第五年末总资金减少；当原有总资金增加时，第五年末总资金也增加，所以在市场空间范围内，投资得越多，收益也越多。因此，模型的求解还算合理。
六、模型的检验
针对问题一，我们建立灰色预测模型对问题一的结果检验。通过比较两种模型所求得的结果来判断问题一模型的合理性
（1）构造累加生成数列
X(0)(i)??x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5),x(0)(6),x(0)(7),x(0)(8),x(0)(9),x(0)(10)??{5119.276,6688.352,6842.004,7196.007,8360.984,8255.013,12839.98,14399.89,14502.29,16537.52}对其进行一次累加生成，记累加生成序列为X(1)
X(1)(i)??x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),x(1)(4),x(1)(5),x(1)(6),x(1)(7),x(1)(8),x(1)(9),x(1)(10)?
?{5119.3,11807.6,18649.6,25845.6,34206.6,42461.7,55301.6,69701.5,84203.8,100741.3} （2）计算构造矩阵
首先，对一次累加生成数列做紧值邻域生成，令
Z(1)(k)?0.5x(1)(k)?0.5x(1)(k?1)
得紧值领域生成数列
Z(1)(i)??z(1)(1),z(1)(2),L,z(1)(10)?
?{5119.3,8463.5,15228.6,22247.6,30026.1,38334.118881.6,62501.6,76952.7,92472.6} 于是，数据矩阵B和向量Y为
^`
??z(1)(2)?(1)??z(3)B???z(1)(4)??...??z(1)(10)?进一步计算
1???8463.5??1???15222.61????22247.6??...1??1???92472.5??1??x(0)(2)??6688.4??(0)???1?6842x(3)?????(0)1? Y??x(4)???7196?
?????1?......????(0)?x(10)??1??????16537.5???(BTB)?1BTY
(3)得到预测模型
可得GM(1,1)模型的白化方程为
dx(1)?0.1282x?12307 dt其时间响应式为
?(1)(k?1)?(x(0)(1)?x??ak?)e??101117.7e0.1282k?95998.5 ??（4）求X(1)的模拟值
?(1)??x?(1)(1),x?(1)(2),x?(1)(3),x?(1)(4),x?(1)(5),x?(1)(6),x?(1)(7),x?(1)(8)，x?(1)(9)，x?(1)(10)? X?{5199,11805,18650,25848,34230,42467,55332,69702,84208,10084}
（5）还原出X(0)的模拟值，由
?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k) x得X(0)的模拟值为
?(0)?{x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5),x(0)(6),x(0)(7),x(0)(8),x(0)(9),x(0)(10)} X?{5119,6700,6854,7059,8432,9562,11954,13685,14927,16125}
（6）误差检验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 实际数据 5119 6688 6842 7196 8361 8255 12839 14309 14502 16537 模拟数据 5199 6700 6854 7059 8432 9562 11954 13685 14927 16125 残差 0 87.56 45.78 -179.12 34.98 453.82 -387.93 -145.78 24.97 75.48 相对误差 0 0. 2% 0.34% 0.02 0.67% 1.58% 2.53% 3.55% 0.67% 0.4% 由表格可以看出，灰色预测模型自身在预测方面的应用是合理的。 灰色预测模型预测未来三年的预测值与模型一，即一元线性回归模型计算的预测值相差不大，可见模型一数据上处理问题的合理性。
七、模型的评价与改进
7,1模型的评价 7.1.1模型的优点
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1、一元线性回归模型对短时间的预测问题效果显著。在本题中，通过一元线性回归的方法，能够形象简明的反映三年来房价的变化趋势。在一定程度上也很好的符合其变化规律；
2、灰色预测使用范围比较广泛，便于描述许多系统内部物理护额这化学本质的过程，可对系统发展变化进行全面观察分析并作出长期预测，在限定的范围内，其预测精度较高。对于第一题的检验中，通过灰色预测模型，较为准确的对三年来房价进行预测。与一元线性回归进行相互对照，更加有力的说明了未来三年的房价的数据的可靠性。 3、线性规划是解决稀缺资源分配的有效方法，解决收益最大或最小化问题，应用广泛；在本题运用中，可以清晰反映房价对于CPI的作用效果，很好的反映出其中的作用关系。 4、层次分析法合理分析各项措施的相对重要性，在制定措施策略时收效很好。与第の二题的问题相对应，通过层次分析法，可以明显的表示出其中的对应关系，具有很好的应用性。
7.1.2模型的缺点
1．模型一的检验利用了灰色预测，灰色预测可以解决短时间内的预测问题，虽然预测结果相差不大，但模型的不到推广与通用；
2．层次分析法在赋权值时参考数据不太完整，可能造成误差；
3．线性规划在收益率的取值上只参考了两年的收益率，结果可能误差。 7.2 模型的改进
问题四在建模求解时将三年期间CPI各项指标的投资收益率Wj的值看做常数，即三年的收益率Wj不变。而事实上，每年的收益或多或少会产生变化，收益率Wj会产生范围或大或小的波动，而因为预测只有三年，且不考虑政策措施对CPI的影响，模型部分还算合理，但为更加精确得到每年每个项目的投资总值，在改进部分我们重新确定收益率为Wij，则目标函数变化为
Max{Z3?100???XijWij}
i?1j?138约束条件不变，从而进一步得出更加合理的投资分配（见附录六）。
另外，由于题目并为给出具体数值，所有数据均由小组成员搜集得到，可能并不能真实的反映出实际情况，或存在误差。同样，由于数据量的大而复杂，在数据处理上有模糊近似的取值， 也是需要改进的地方。总之，数据对问题解答和结果的得出影响教大，是本论文仍需改进之处。
八、模型的推广
本文共建立四个模型，其中灰色预测模型用于对线性回归模型结果的合理性检验。灰色预测用简捷有力的方法处理复杂系统，在某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足。在预测应用上，如气象预报、地震预报、病虫害预报等，国内学者做出了许多有益的研究。
层次分析法主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。该方法以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统
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分析、城市规划、经济管理、科研评价等领域，得到了广泛的重视和应用。
问题四的线性规划模型在求优化配置方面应用广泛。在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题，线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。
九、参考文献
[1]统计年鉴2011年， http://www.stats-sh.gov.cn/data/toTjnj.xhtml? y=2011 2013.4.17 16:44 [2]温家宝主持召开国务院常务会议－高层动态－新华网， http://news.xinhuanet.com/politics/2013-02/20/c_114744028.htm 2013.4.16 15：00 [3]姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1992.
[4]吉培荣胡翔勇熊冬青，对灰色预测模型的分析和评价，水电能源科学。1990年02期：1999年
[5]中国统计年鉴[EB/OL].http://www.stats.gov.c
数学建模房价预测及影响因素问答
