^`
此模型建立的合理性。 5.1.3确定以后三年房价
通过上一问的求解，我们得到房价y关于年份x的回归方程，因此便可对x赋值，令x?2013,2014,2015，便可求出对应年份的上海房价，其结果见下表：
表2 相关年份的上海房价值 x（年） y（元/平米） 2013 17152.2 2014 18437.5 2015 19722.8 所以我们给出未来三年，上海总体房价水平为17152.2元/平米，18437.5元/平米，19722.8元/平米。 5.2 问题二的建立与求解
5.2.1 建立递阶层次结构
由问题一可知，上海近几年来房价处于不断增长之中；国家为了继续做好房地产市场调控工作，颁布了五项加强房地产市场调控的政策措施，即“国五条”，确保房地产市场能够平稳健康发展，最终实现调控房价的终极目标。
然而，由题目可知，造成房价持续上涨的原因主要包括两方面：第一，不规范的房的销售价格行为；第二，地价的上升导致房的开发成本提高。这里准则层在选择时，在参考了题目给定的房价上涨的两个原因外，通过查阅资料发现，消费心理也对房价产生不少影响，所以准则层有三个因素。因此，我们可以将这些因素分别划分到措施层、目标层和准则层中，构建出一个层次分析模型，如下图所示：
图3 层次结构分析模型
5.2.2构造判断矩阵并赋值
由图3可反映出各个因素之间的联系，但准层中的各因素在目标准则中的比重并不一定相同，它们各自占有一定比例；由于各比重不定量化，所以首先通过各因素两两比较来确定比较判断矩阵。比较的标度值引用数字1—9及其倒数，1—9及其倒数具体含义不同，我们参照下表对各层判断矩阵分别赋值，确定判断矩阵，1—9及其倒数的具体含义参照下表，表3：
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表3 1-9标度的具体含义 标度 1 3 5 7 9 2，4，6，8 含义 表示两个因素相比，具有相同重要性 表示两个因素相比，前者比后者稍重要 表示两个因素相比，前者比后者明显重要 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要 表示两个因素相比，前者比后者极端重要 表示上述相邻判断的中间值 。 m然后我们根据构造矩阵的方法，对A、B、C三层分别进行主观判断构造矩阵。 （1）相对于调控房价，各考虑准则层之间的相对重要性比较（判断矩阵A?B）
X1X2X3X1?11/31/5? ??X2?311/7?X3?1??57?（2）相对不规范房的销售价格行为这一准则，各方案之间的重要性比较（判别矩阵B1?C），详见附录七；
若因素1与因素2的重要性之比为m，那么因素2与因素1重要性之比为 1（3）相对地价上升致开发成本提高这一准则，各个方案的重要性比较（判别矩阵B2?C），详见附录七； （4）相对消费心理这一准则，各方案之间的重要性比较（判断矩阵B3?C），详见附录七。
5.2.3计算权向量与检验
在得到判断矩阵后，求各个判断矩阵对应的最大特征值 ?max。根据以下公式，求一致性指标及比率：
一致性指标
CI?一致性比率
?max?nn?1，
??nCI?max RIRIg(n?1)其中随机一致性指标与矩阵阶数的关系见下表：
表4 随机一致性指标RI值表 CR?矩阵阶数 1 0 2 0 3 0.58 4 0.9 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 RI （1）利用上述公式，带入求值，分别计算出了判断矩阵A?B矩阵相对重要性权值及?max,CR，然后，通过求得的?max，查找相应的平均随即一致性指标RI。
^`
它们具体数值为
?0.6525?? ?=2,CR=?0.7500,CI??0.6696,RI?1.120 W?1???0.2192max????0.1967??（2）利用上述公式，带入求值，分别计算出了判断矩阵B1?C矩阵相对重要性权
值及?max,CR，然后，通过求得的?max，查找相应的平均随即一致性指标RI。它们具体数值为
?0.3089??0.4963???(2)W(1)??0.1029? ?max=5.3367,CR=0.0752,CI?0.0842,RI?1.120
??0.0675????0.0244??对判断矩阵B2?C，B3?C权向量，?max,CR值及一致性指标RI的计算在附录七 通过以上结果便可发现，CR均小于0.1，即上述各判断矩阵的结果符合一致性检验的要求。 5.2.4 层次总排序
被影响层相对于主导因素的层次总排序计算见下表：
表 5 层次总排序表 层次B对层次A的排序 层次C对 层次B的排序 C1 C2 C3 C4 C5 B1 B2 1 0.6525 0.3089 0.4963 0.1029 0.0675 0.0244 2 0.2192 0.3906 0.2093 0.8694 0.0255 0.0126 C层次总排序权重 序号 0.85 1.1 1.06 0.86 0.43 4 1 2 3 5 5.2.5 层次总排序组合的一致性检验
(p)(p)假设第p?1层有pk个因素，第p层的一致性指标为： CI1(p),CI2， ,???,CIpk(P)(p)第p层的一致性指标为：RI1(P),RI2， ,???,RIpk(p)(p)(p?1)则 CI(P)?[CI1(p),CI2 ,???,CIp]wk(P)(p)(p?1) RI(P)?[RI1(P),RI2,???,RIp]wk其中，w(p?1)为第p?1层对第一层的排序权向量
那么，第p层对第一层的组合一致性比率为：
CI(p)CR?CR?(p),p?3,4,???,s
RI只有当CR?0.1时，我们认为层次总排序结果具有满意的一致性；否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。对于该题，我们将相应数据带入公式，分别计算RI(3)和CR(3)的值并作出判断，下面即使求解检验过程：
(p)(p?1)^`
?0.6525???1.1966 RI(3)??1.121.121.12??0.2192????0.1967??CI(3)0.0611(3)(2)CR?CR?(3)?0.7500??0.8010?0.1
RI1.19665.2.6 结果分析
显然，CR?0.1,因此上面得到的结果是可靠的；我们可以得到，坚决抑制投机投资
性购房权重最大，相对重要程度最高；坚决抑制投机投资性购房权重次之，相对重要性较重要；完善稳定房价工作责任制权重第三，相对重要性排第三；加快保障性安居工程规划建设和加强市场监管权重第四和第五，相对重要性不太高。因此，抑制投资投机性购房这项措施对房价的升高最具有控制力。 5.3 问题三的建立与求解
5.3.1 寻求房价与居民购房消费的关系
由于房价是通过影响CPI中的居民购房消费这项指标从而对CPI产生影响的，因此它们肯定存在一定量的关系。
记k时段上海房屋总数为xk，同时段的房价为yk，k表示一个生产周期，而不一定是一年。则构造函数：
yk?f?xk?
来反映居民对房屋的需求关系，称为需求函数。由于商品的数量愈多，价格就会愈低，所以f为一条下降的线。
然而下一时段房屋数量由上一时段价格yk决定，因此设
xk?1?h(yk)或yk?g(xk?1)
h或g反映房产商的供应关系，称为供应函数。因为价格越高，生产量越大，所以 h或g为一条上升的线。
由于f为一条下降的线，而h或g为一条上升的线，所以需求函数与供应函数必定有交点，此交点称为平衡点。而偏离平衡点，供求关系将发生变化，居民购房消费也将发生变化。
供求关系大致分成两类：
（1）需求大于供应，即f?xk??g(xk?1)，此时居民消费为M1?K1(yk)
（2）需求小于供应，即f?xk??g(xk?1)，此时居民消费为M2?K2(yk) 那么居民购房消费大致可以表示为M?M1?M2?(K1?K2)yk 5.3.2 寻求居民购房消费与CPI的关系
由于居民购房消费随时间变化，而CPI也随时间变化，故可直接建立居民购房消费与CPI两者之间的关系。
这种关系可以根据近几年居民在居住方面的消费和相应年份CPI的变化，拟合出这样一种关系。所以，我们将搜集到的数据，利用mathematic拟合（拟合曲线图见附录），在经过多次拟合后，我们发现五次拟合是效果最好的，其拟合图如下：
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图4 拟合图
拟合图虽然较为粗糙，但能反映大部分的数据，可以表示出居民购房消费与CPI的关系，可以采用。
5.3.3 得出房价与CPI的关系
通过上面的求解，我们可以归纳出房价关于CPI的表达式为
C??2.6?106?2.3?104M?82.3M2?0.15M3?1.3?10?4M4?4.5?10?8M5 其中M表示为
f?xk??g(xk?1)??KyM??1k
??K2ykf?xk??g(xk?1)5.3.4 对模型及结果的分析
应该注意的是，我们难以根据房价的变动，直接得出其与上海居民消费价格指数
CPI的直接关系，也就说房价不是直接影响CPI的指标，但房价却可以影响CPI中的某项指标来进一步影响CPI。
在CPI的各项指标中，居民购房消费这项指标与房价关系最为紧密，其他的几乎毫无联系，且可以判断，这两项必定存在直接的关系，所以我们仅从居民购房消费入手建立形如“蛛网模型”的一个关系来反映居民消费的变动。然后，采用数据拟合的方法，将近几年居民用于房地产的消费与对应年份CPI的值拟合成代数关系。这样，我们只要将中间的参数替换掉，便可得到房价与CPI之间的关系了。
然而，结合前两个问题我们不难发现，上海房价近十年来总体趋势是上涨的，且上涨的主要因素第一是不规范的房的销售价格行为，第二是地价的上升导致房的开发成本提高。出现这些现象的潜在原因是，居民对购房的需求在增加，需求的增加使得开发商作出这些对策，所以上面的模型中，供应函数所占的比重应较大。所以在需求增加的情况下，商品房供不应求，房价便提高起来。在居民任然选择购房的情况下，其用于居住方面的开支增多，CPI也就随之变化。
这个关系也为政府在制定措施时提供一个重要依据，由“国五条”具体如何影响房价变化各个指标的权重可知，增加普通商品住房及用地供应这一条所占权重在总排序中占第二，即政府在制定措施时考虑到房子的供求关系，且排在相对重要的位置。房价关
数学建模房价预测及影响因素问答
