§6 重积分的应用
(一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． (二) 教学内容：
曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式
和引力的计算公式．
(三) 教学建议：
要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题．
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一 曲面的大面积
设D为可求面积的平面有界区域函数在D上具有连续一阶偏导数，讨论由方程
z?f(x,y),(x,y)?D
所确定的曲面S的面积??i
?Ai?Si??in ?S???Si???Ai ni?1i?1当 ||T||?0时，可用和式
??A的极限作为S的面积
ii?1n首先计算?Ai的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S在Mi(?i,?i,?i)处的法线向量，记它与z轴的夹角为?i，则
cos?i?11?f(?i,?i)?f(?i,?i)2x2y
?Ai?n??i?1?fx2(?i,?i)?fy2(?i,?i)??i
cos?ini??A??i?1i?121?fx2(?i,?i)?fy2(?i,?i)??i
2是连续函数1?fx(?i,?i)?fy(?i,?i)在有界闭域上的积分和，所以当||T||?0时，就得到
?S?lim?1?fx2(?i,?i)?fy2(?i,?i)??i
||T||?0i?1n???1?fx2(xi,yi)?fy2(xi,yi)dxdy
D或 ?S?lim??idxdy ????||T||?0|cos?)||cos(n,z)|i?1iDn例 1 求圆锥 z?解 ?S?
x2?y2 在圆柱体 x2?y2?x内那一部分的面积
221?zx(xi,yi)?zy(xi,yi)dxdy D:x2?y2?x
??DZ X Y 所求曲面方程为 z? zx?x2?y2?
xx?y22,zy?yx?y22
?S???2dxdy?2D?D2? 4例2 演示 例3 演示
若空间曲面S由参数方程
x?x(u,v),y?y(u,v),z?z(u,v),(u,v)?D
确定，其中在D上具有连续一阶偏导数，且
?(x,y)?(y,z),,?(u,v)?(u,v)?(z,x)
?(u,v)中，至少有一个不等于零，则曲面S在点(x,y,z)的法线方向导数为
??(y,z)?(z,x)?(x,y)???,,??(u,v)?(u,v)? ?(u,v)??它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为
?(x,y)?(u,v)(?(y,z)2?(z,x)2?(x,y)2)?()?()?(u,v)?(u,v)?(u,v)?|?(x,y)|?(u,v)1EG?F2
其中
当
222E?xu?yu?zu,F?xuxv?yuyv?zuzv,G?x?y?z,2v2v2vEG?F?Rcos?22
?(z,x)?0时，作变换 x?x(u,v),?(u,v)y?y(u,v)，则有
S???
11?(x,y)dxdy???||dudv
Dcos(n,z)cos(n,z)?(u,v)由课本p254, (4) ?S???DEG?F2dudv
例 2 求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积，设球面方程为
x?Rcos?cos?y?Rcos?sin? z?Rsin?E?x222??y??z??R,F?0,G?R2cos2?
EG?F2?R2cos??2?2S?R2cos?d???d??1?1?R2(?1??2)(sin?2?sin?1)
数学分析教案华东师大第三版
