第三章习题
习题3.1 设一个载波的表达式为c(t)?5cos1000?t，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+cos200?t。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。
解： s?t??m?t?c?t???1?cos200?t?5cos?1000?t?
?5co1s00?0t?5co2s0?0tco1s00?0t 5?5co1s00?0t??co1s20?0t?co8s0?0t?2由傅里叶变换得
S?f??5???f?500????f?500???5???f?600????f?600???24 5???f?400????f?400??4已调信号的频谱如图3-1所示。
52 54
－600－500－400
S(f) 0 图3-1 习题3.1图
习题3.2 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少？ 解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2，上、下边带的振幅均为5/4。
习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ，基带调制信号是频率为2 kHZ的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。
解：由题意，已知fm=2kHZ，?f=5kHZ，则调制指数为
mf??f5??2.5 fm2已调信号带宽为 B?2(?f?mf)?2(5?2)?14 k
习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。
证明：设基带调制信号为m'(t)，载波为c(t)=Acos?0t，则经调幅后，有
'sAM(t)???1?m(t)??Acos?0t
2'22?已调信号的频率 PAM?sAM(t)??1?m(t)Acos?0t ??2《通信原理》习题第三章
A2cos2?0t?m'2(t)A2cos2?0t?2m'(t)A2cos2?0t
因为调制信号为余弦波，设
B?2(1?mf)fm?f?1000 kHZ?100''2，故
m21m(t)?0, m(t)??
22A2则：载波频率为 Pc?Acos?0t?
222m'2(t)A2A2?边带频率为 Ps?m(t)Acos?0t? 24P1因此s?。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。
Pc2'222
习题3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即z(t)=x(t)y(t)，其傅立叶变换为卷积关系：Z()=X()*Y()。
证明：根据傅立叶变换关系，有
1 F?X????Y?????2??1?1?????2????j?t????XuY??udued? ???????变换积分顺序:F-1?X????Y????? ?12??????X?u?1????ej?tu ??Y??ud???????2????1??jut1?j?t????XueY?ed??du ???????2???2??1??jut???Xuey?t?du 2????
?x?t?y?t?又因为 z?t??x?t?y?t??F-1?Z???? 则 F?1?Z?????F-1?X????Y???? 即 Z????X????Y???
习题3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ，振幅等于1V。它对频率为10mHZ的载波进行相位调制，最大调制相移为10rad。试计算次相位调制信号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为5kHZ，试求其带宽。
解：由题意，fm?10 kHZ , Am?1 V 最大相移为 ?max?10 rad 瞬时相位偏移为?(t)?kpm(t)，则kp?10。 瞬时角频率偏移为d
d?(t)?kp?msin?mt则最大角频偏???kp?m。 dt因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指
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数 mf????m?kp?m?m?kp?10
因此，此相位调制信号的近似带宽为
B?2(1?mf)fm?2(1?10)*10?220 kHZ 若fm=5kHZ，则带宽为
B?2(1?mf)fm?2(1?10)*5?110 kHZ
习题3.7 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制，并且最大调制频移为1mHZ。试求此频率调制信号的近似带宽。
解：由题意，最大调制频移?f?1000 kHZ，则调制指数mf?故此频率调制信号的近似带宽为
?f?1000/10?100 fms(t)?10cos(2?*106t?10cos2?*103t)
习题3.8设角度调制信号的表达式为s(t)?10cos(2?*106t?10cos2?*103t)。试求：
（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。
解：（1）该角波的瞬时角频率为
?(t)?2*106??2000?sin2000?t
故最大频偏 ?f?10*2000??10 kHZ 2??f103（2）调频指数 mf??10*3?10
fm10故已调信号的最大相移???10 rad。
（3）因为FM波与PM波的带宽形式相同，即BFM?2(1?mf)fm，所以已调信号的带宽为
B=2(10+1)*103?22 kHZ
习题3.9 已知调制信号 m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt)，载波为cos104πt，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达试，并画出频谱图。
解：
方法一：若要确定单边带信号，须先求得m(t)的希尔伯特变换 m’（t）=cos（2000πt-π/2）+cos（4000πt-π/2） =sin（2000πt）+sin（4000πt） 故上边带信号为
SUSB(t)=1/2m(t) coswct-1/2m’(t)sinwct
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《通信原理》习题第三章
=1/2cos(12000πt)+1/2cos(14000πt) 下边带信号为
SLSB(t)=1/2m(t) coswct+1/2m’(t) sinwct =1/2cos(8000πt)+1/2cos(6000πt) 其频谱如图3-2所示。 π/2 SUSB（t） ω -1400π-12000π 12000π 14000π
SLSB（t） π/2
ω -8000π-6000π 6000π 8000π
图3-2 信号的频谱图
方法二：
先产生DSB信号：sm(t)=m(t)coswct=···，然后经过边带滤波器产生SSB信号。
习题3.10将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若信号的传输函数H(w)如图所示。当调制信号为m(t)=A[sin100πt +sin6000πt]时，试确定所得残留边带信号的表达式。
解：
设调幅波sm(t)=[m0+m(t)]coswct，m0≥|m(t)|max，且sm(t)<=>Sm(w)
H(w) 1 f/kHz -14 -10.5 -9.5 0 9.5 10.5 14 图3-3 信号的传递函数特性
根据残留边带滤波器在fc处具有互补对称特性，从H(w)图上可知载频fc=10kHz，因此得载波cos20000πt。故有
sm(t)=[m0+m(t)]cos20000πt
=m0cos20000πt+A[sin100πt+sin6000πt]cos20000πt =m0cos20000πt+A/2[sin(20100πt)-sin(19900πt) +sin(26000πt)-sin(14000πt)
Sm(w)=πm0[σ(w+20000π)+σ(W-20000π)]+jπA/2[σ(w+20100π)-
σ(w+19900π)+σ(w-19900π)+σ(w+26000π)-σ(w-26000π) -σ(w+14000π)+σ(w-14000π)
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残留边带信号为F(t)，且f(t)<=>F(w)，则F(w)=Sm(w)H(w)
故有：
F(w)=π/2m0[σ(w+20000π)+σ(w-20000π)]+jπA/2[0.55σ(w+20100π) -0.55σ(w-20100π)-0.45σ(w+19900π)+ 0.45σ(w-19900π)+σ(w+26000π) -σ(w-26000π)
f(t)=1/2m0cos20000πt+A/2[0.55sin20100πt-0.45sin19900πt+sin26000πt]
习题3.11设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)=0.5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，而载波为100kHz，已调信号的功率为10kW.若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，试问：
1.） 该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性H(w)? 2.） 解调器输入端的信噪功率比为多少? 3.） 解调器输出端的信噪功率比为多少?
4.） 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图型表示出来。 解：
1.）
为了保证信号顺利通过和尽可能的滤除噪声，带通滤波器的宽度H(w)=K ，95kHz≤∣f∣≤105kHz
0 ，其他
2.） Si=10kW
Ni=2B* Pn(f)=2*10*103*0.5*10-3=10W 故输入信噪比Si/Ni=1000 3.） 4.）
因有GDSB=2
据双边带解调器的输出嘈声与输出噪声功率关系，有：
故输出信噪比 S0/N0=2000 N0=1/4 Ni =2.5W
故 Pn (f)= N0/2fm=0.25*10-3W/Hz
=1/2 Pn(f) ∣f∣≤5kHz Pn(f)(W/Hz)
-30.25*10
-5 0 5 f/kHz
图3-4解调器输出端的噪声功率谱密度
习题3.12设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn（f）=5*10-3W/Hz，在该
等于已调信号带宽，即B=2fm=2*5=10kHz，其中中心频率为100kHz。所以
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通信原理教程 樊昌信 习题答案第三章
