??f(x,y,z)dydz=2??f(x,y,z)dydz， f(x,y,z)关于x为奇函数；
SS1 ? ??f(x,y,z)dzdx?0， f(x,y,z)关于y为偶函数,
S ??f(x,y,z)dzdx=2??f(x,y,z)dzdx， f(x,y,z)关于y为奇函数.
SS1例1 求第二型曲面积分
111dydz?dzdx?dxdy， ??xyzSx2y2z2其中S为椭球面2?2?2?1的外侧.
abc 解 注意到被积曲面关于x,y,z具有轮换对称性，且可利用投影化为二重积分，则有
111dydz?dzdx?dxdy=I1?I2?I3， ??xyzS令
则
I3?x2y2??1a2b2??2c1?xy?a2b222dxdy.
作广义极坐标变换x?arcos?，y?brsin?；则J?abr，
由轮换对称性知I1???Sdydz4bc?dzdx4ac?，I2???，故 ??xaybSI1?I2?I3?4?(bcacab??). abc3.9 第二型曲面积分的向量计算形式
据第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系：
uvv其中A={P,Q,R}，n?{cos?,cos?,cos?}为有向曲面S上点(x,y,z)处的单位法
向量，dS是曲面的面积微元，正好符合第二型曲面积分的物理意义.又因为两个
uvvuvv向量值函数的数量积A?n是一个数值函数，所以??A?ndS是第一型曲面积分，当
S曲面S方程为z?f(x,y)上侧时，单位法向量为
?fv?fvv??i??j?kv?f?f?x?y，曲面面积微元为1?()2?()2dxdy，这就是说在此计n??x?y?f?f1?()2?()2?x?y算过程中，计算量较大的因子1?(所以第二曲面积分
?f2?f2)?()肯定要被约去，实际不需要计算，?x?y 整个过程只需计算一个二重积分，计算量大大减小.
例1 求
其中S为球面x2?y2?z2?R2的外侧.
解 此题如果采用将第二型曲面积分化二重积分计算，则需要计算六个二重积分，较为繁琐且运算量较大；若利用高斯公式求，被积函数的分母在原点等于零，不能直接对球体x2?y2?z2?R2和它的边界S运用高斯公式，因此需要以原点为中心，某个充分小的正数?为半径作球面S?:x2?y2?z2??2，内侧为正，用
V?表示球面x2?y2?z2?R2与球面S?:x2?y2?z2??2围成的空间区域. 对空间区域V?和它的边界SUS?，运用高斯公式，最后可化为
xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322I???S???S?xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322，
还是和原第二型曲面积分一样，利用向量形式计算则较为方便.
xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)22322I???S???SuvvA?ndS，
其中
uvA?21(x?y?z)2322vvv(xi?yj?zk)，n?1x2?y2?z2vvv(xi?yj?zk)，
利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算，避免了传统计算方法对曲面侧的判定和高斯公式条件的限定，且计算过程运算量较大的因子1?(?f2?f2)?()可以不需计算，所以其显着优点是物理?x?y意义明确，计算过程简单，适用于所有的第二型曲面积分的计算，值得掌握.
第二类曲面积分的计算方法
