???(V?P?Q?R??)dxdydz?òPdydz?Qdzdx?Rdxdy， ???x?y?zS其中S取外侧，上式称为高斯公式.
例1 计算曲面积分
I???(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?ex?y)dxdy，
S其中S为曲面x?y?z?y?z?x?z?x?y?1的外侧面，外法线为正向.
解 由题意得知， P?x?y?z,Q?2y?sin(z?x),R?3z?ex?y，
利用高斯公式，
?P?Q?R?1,?2,?3，则 ?x?y?z?P?Q?R??)dxdydz????(1?2?3)dxdydz?6???dxdydz. ?x?y?zVVI????(V其中，V为S包围的区域x?y?z?y?z?x?z?x?y?1.作旋转变换
u?x?y?z,v?y?z?x,w?z?x?y.则V?为S?包围的区域u?v?w?1，而V?是一个对称的八面体，它在uvw平面的第一卦限部分为u?v?w?1及坐标平面
u?0,v?0,w?0所围成的区域，且有
1?1111?(u,v,w)?1?(x,y,z)?1?(x,y,z)11?1?4，J???.
?(u,v,w)?(u,v,w)41?(x,y,z)所以
例2 设f(u)有连续导数，计算
1y1y333xdydz?[f()?y]dzdx?[f()?z]dxdy， ò??zzyzS 其中S为z?0的锥面x2?y2?z2?0与球面x2?y2?z2?1，x2?y2?z2?4所围立
体的表面外侧(如图所示).
解 因为被积函数中含有抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面S为闭曲面，考虑用高斯公式.
1y1y∵P?x3，Q? f()?y3，R? f()?z3 在所围区域V上满足高斯公式的条
zzyz件（z?0的点不在V内)，故有
3.6 利用两类曲面积分之间的联系
只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的），就可以
求出法向量的方向余弦，从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理，请看
下例：
例1 计算积分
I???(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy，
S其中S为半球：x2?y2?z2?2Rx，(z?0)被柱面x2?y2?2rx，(R?0)截下的部分. (如图所示)
v 解 S的法向量为：n?{x?R,y,z)，方向朝上，单位化得：
所以
x?Ryz，cos??，cos??.
RRRcos??由两类曲面积分之间的关系式，有
积分曲面关于y?0对称，所以
??zdS???Rcos?dS?R??dxdy?R??dxdy?R??rSSSDxy2，
例2 计算
I???[x?f(x,y,z)]dydz?[f(x,y,z)?y]dzdx?[3f(x,y,z)?z]dxdy，
S其中f(x,y,z)为连续函数，S是平面2x?y?z?1在第四象限部分的上侧(如图所示).
解 因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分，看能否消去抽象函数.
S：2x?y?z?1，S上任一点法向量的方向余弦为
由第一类与第二类曲面积分的关系，有
例3 计算闭曲面积分：
xyzdydz?dzdx?dxdy， 333ò??rrrS其中r?x2?y2?z2，S是球面x2?y2?z2?a2外侧表面.
解 本题当然可化为二重积分来计算，但将其化为第一类曲面积分来计算更
v为方便.因为球面外侧法向量n?{2x,2y,2z}，其方向余弦
xyzcos??,cos??,cos??，
rrr由第一、二类面积分的关系，得
注意：本题虽是第二类闭曲面积分，但不能应用高斯公式计算.
3.7 利用Stokes公式化为第二型曲线积分
斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系.
定理：设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则
?R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz， ??y?z?z?x?x?yL??(S其中S的侧与L的方向按右手法则确定.
v若diw?0，则存在向量势a,使得v?rota，故
vvvv??(v?n)d????(rota?n)d????(a??)ds.
SSCv其中S为以C为边界线的分片光滑曲面，且S指定侧的单位向量n与C的环行方向?构成右手系.
v例1 计算
vv??(rota?n)d?，
Svvv2v其中S是球面x+y?z?9的上半部分，C是它的边界，a?2yi?3xj?zk.
222 解 边界曲线C为z?0平面内一圆x2?y2?9，则
vvvv??(rota?n)d??蜒?(a??)d??SC?C2ydx?3xdy?z2dz.
令x?3cos?,y?3sin?,z?0，则
2?2?原式=2?(?9sin?)d??3?9cos2?d??9?.
0023.8 利用积分区间对称性的计算方法
若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，则
?1f(x,y,z)dydz?f(z,x,y)dxdy?f(y,z,x)dzdx. ??3S 若曲面S关于xoy(yoz或zox)平面对称，且S在xoy(yoz或zox)平面上半空间的部分曲面S1取定为上侧(前侧或右侧)，在xoy(yoz或zox)平面下半空间的部分曲面
S2取定为下侧(后侧或左侧)，则
? ??f(x,y,z)dxdy?0， f(x,y,z)关于z为偶函数，
S ??f(x,y,z)dxdy=2??f(x,y,z)dxdy， f(x,y,z)关于z为奇函数；
SS1 ? ??f(x,y,z)dydz?0， f(x,y,z)关于x为偶函数,
S
第二类曲面积分的计算方法
