???(V?P?Q?R??)dxdydz?òPdydz?Qdzdx?Rdxdy, ???x?y?zS其中S取外侧,上式称为高斯公式.
例1 计算曲面积分
I???(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?ex?y)dxdy,
S其中S为曲面x?y?z?y?z?x?z?x?y?1的外侧面,外法线为正向.
解 由题意得知, P?x?y?z,Q?2y?sin(z?x),R?3z?ex?y,
利用高斯公式,
?P?Q?R?1,?2,?3,则 ?x?y?z?P?Q?R??)dxdydz????(1?2?3)dxdydz?6???dxdydz. ?x?y?zVVI????(V其中,V为S包围的区域x?y?z?y?z?x?z?x?y?1.作旋转变换
u?x?y?z,v?y?z?x,w?z?x?y.则V?为S?包围的区域u?v?w?1,而V?是一个对称的八面体,它在uvw平面的第一卦限部分为u?v?w?1及坐标平面
u?0,v?0,w?0所围成的区域,且有
1?1111?(u,v,w)?1?(x,y,z)?1?(x,y,z)11?1?4,J???.
?(u,v,w)?(u,v,w)41?(x,y,z)所以
例2 设f(u)有连续导数,计算
1y1y333xdydz?[f()?y]dzdx?[f()?z]dxdy, ò??zzyzS 其中S为z?0的锥面x2?y2?z2?0与球面x2?y2?z2?1,x2?y2?z2?4所围立
体的表面外侧(如图所示).
解 因为被积函数中含有抽象函数,直接计算显然不可能,又因为曲面S为闭曲面,考虑用高斯公式.
1y1y∵P?x3,Q? f()?y3,R? f()?z3 在所围区域V上满足高斯公式的条
zzyz件(z?0的点不在V内),故有
3.6 利用两类曲面积分之间的联系
只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的),就可以
求出法向量的方向余弦,从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理,请看
下例:
例1 计算积分
I???(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy,
S其中S为半球:x2?y2?z2?2Rx,(z?0)被柱面x2?y2?2rx,(R?0)截下的部分. (如图所示)
v 解 S的法向量为:n?{x?R,y,z),方向朝上,单位化得:
所以
x?Ryz,cos??,cos??.
RRRcos??由两类曲面积分之间的关系式,有
积分曲面关于y?0对称,所以
??zdS???Rcos?dS?R??dxdy?R??dxdy?R??rSSSDxy2,
例2 计算
I???[x?f(x,y,z)]dydz?[f(x,y,z)?y]dzdx?[3f(x,y,z)?z]dxdy,
S其中f(x,y,z)为连续函数,S是平面2x?y?z?1在第四象限部分的上侧(如图所示).
解 因被积函数中含有抽象函数,直接计算难以进行,化为第一类曲面积分,看能否消去抽象函数.
S:2x?y?z?1,S上任一点法向量的方向余弦为
由第一类与第二类曲面积分的关系,有
例3 计算闭曲面积分:
xyzdydz?dzdx?dxdy, 333ò??rrrS其中r?x2?y2?z2,S是球面x2?y2?z2?a2外侧表面.
解 本题当然可化为二重积分来计算,但将其化为第一类曲面积分来计算更
v为方便.因为球面外侧法向量n?{2x,2y,2z},其方向余弦
xyzcos??,cos??,cos??,
rrr由第一、二类面积分的关系,得
注意:本题虽是第二类闭曲面积分,但不能应用高斯公式计算.
3.7 利用Stokes公式化为第二型曲线积分
斯托克斯(Stokes)公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系.
定理:设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线,若函数P,Q,R在S(连同L)上连续,且有一阶连续偏导数,则
?R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz, ??y?z?z?x?x?yL??(S其中S的侧与L的方向按右手法则确定.
v若diw?0,则存在向量势a,使得v?rota,故
vvvv??(v?n)d????(rota?n)d????(a??)ds.
SSCv其中S为以C为边界线的分片光滑曲面,且S指定侧的单位向量n与C的环行方向?构成右手系.
v例1 计算
vv??(rota?n)d?,
Svvv2v其中S是球面x+y?z?9的上半部分,C是它的边界,a?2yi?3xj?zk.
222 解 边界曲线C为z?0平面内一圆x2?y2?9,则
vvvv??(rota?n)d??蜒?(a??)d??SC?C2ydx?3xdy?z2dz.
令x?3cos?,y?3sin?,z?0,则
2?2?原式=2?(?9sin?)d??3?9cos2?d??9?.
0023.8 利用积分区间对称性的计算方法
若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性,则
?1f(x,y,z)dydz?f(z,x,y)dxdy?f(y,z,x)dzdx. ??3S 若曲面S关于xoy(yoz或zox)平面对称,且S在xoy(yoz或zox)平面上半空间的部分曲面S1取定为上侧(前侧或右侧),在xoy(yoz或zox)平面下半空间的部分曲面
S2取定为下侧(后侧或左侧),则
? ??f(x,y,z)dxdy?0, f(x,y,z)关于z为偶函数,
S ??f(x,y,z)dxdy=2??f(x,y,z)dxdy, f(x,y,z)关于z为奇函数;
SS1 ? ??f(x,y,z)dydz?0, f(x,y,z)关于x为偶函数,
S
第二类曲面积分的计算方法



