例3 计算
其中S是球面x2?y2?z2?1的上半部分并取外侧为正向.
解1 S可表示为z?1?x2?y2 (x,y)?D 其中
?(x,y)10==1，故(4)式应取正号， ?(x,y)01 由于积分按S上侧进行，且J?而
所以
解
0???2 由于S可表示为x?sin?cos?,y?sin?sin?,z?cos?，
,0???2?
?2所以
本例计算虽然简单，但不难看出用公式(4)计算时不必对S分划并讨论符号代之以在zox平面上二重积分.
例4 计算
其中，S是球面(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?R2，且设积分是沿球面外侧.
解 S可表示为
0????,0???2?.
由于在第一象限积分按上侧积分，而J= R2sin?cos??0，故(4)应取正号.
因为
??xdydz??S2?0d??2?08?R3a(a?Rsin?cos?)Rsin?cos?d?=
32228?R38?R3b类似可求得 I3???ydzdx=，所以I?I1?I2?I3?(a?b?c).
33S23.3 单一坐标平面投影法
设光滑曲面S：z?z(x,y),(x,y)?Dxy（Dxy是S在xoy平面上的投影区域），函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在S上连续，z?z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，则
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
S????[P(x,y,z)(?zx)?Q(x,y,z)(?zy)?R(x,y,z)]dxdy，
Dxy当S取上侧时，上式右边取正号；当S取下侧时，上式右边取负号. 若S的方程为x?x?y,z?，y?y?z，x?，也有类似的公式：
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS????[P(x,y,z)?Q(x,y,z)(?xy)?R(x,y,z)(?xz)]dydz；
Dyz当S取前侧时，上式右边取号；当S取后侧时，上式右边取负号.
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS????[P(x,y,z)(?yx)?Q(x,y,z)?R(x,y,z)(?yz)]dzdx.
Dzx当S取右侧时，上式右边取正号；当S取左侧时，上式右边取负号.
例1 计算积分
??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy，
S其中S为圆锥面x2?z2?y2介于0?y?h,z?0部分的上侧.
解 S的方程为y?x2?z2，取左侧，则
原式???(y?z)(?yx)?(z?x)?(x?y)(?yz)dzdx
S4 ??h3.
3例 2 求
??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy，
S其中S为锥面z?x2?y2 (0?z?h)部分的正侧.
解 S：z?x2?y2 (0?z?h)，则zx?xx?y22，zy?yx?y22.
又S在平面上的投影D：x2?y2?h2.因为S取下侧，所以
最后一个等号用到二重积分的对称性质.
3.4 分项投影法
分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：
分别将右式三项投影到yoz,zox,xoy平面上，由于
分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实则简单，非常实用.
计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分项投影，如一个完整的球投影到xoy平面上，上下半球曲面要分别投影计算，计算中注意利用方向性等性质以简化计算.
例1 计算积分
ò??yzdydz?zxdzdx?xydxdy，
S其中S是四面体x?y?z?a?a?0?，x?0,y?0,z?0的表面，外法线是正向. 解 这是三个第二型曲面积分之和.首先计算第二型曲面积分ò??xydxdy，
S而曲面S是由四个有向的三角形区域：
ABC?上?，AOB?下?，BOC?后?，COA?左?组成.其中BOC（后)与COA?左?在XY坐标面的面积微元dxdy?0，ABC?上?，AOB?下?在XY坐标面的
投影都是三角形区域D?x?0，y?0，x?y?a围成?，从而 ???xydxdy???xydxdy?0?0.
DD同理可得
??yzdydz???zxdzdx?0，
SS于是
ò??yzdydz?zxdzdx?xydxdy?0.
S例2 计算第二型曲面积分
I???f(x)dydz?g(y)dzdx?h(z)dxdy，
S 其中S是平面六面体(0?x?a,0?y?b,0?z?c)的表面并取外侧为正向，
f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数.
解 记 S1:x?a （前侧为正向），S2:x?0 （后侧为正向) 积分??f(x)dydz在另外四个曲面上的积分为零，故
S 由于变量的对称性，类似可得
所以
3.5 利用高斯公式（Gauss)化为三重积分的方法
格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是高斯公式.
定理：设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则
第二类曲面积分的计算方法
