2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题
一、填空题（每小题7分，共70分）
1、已知n为一正整数，并且2n1能被7整除，则n的所有取值为________. 2、不等式(x1)(x2)(x3)(x4)24的解是________.
3、设z是一模长大于1的复数，并且满足z4、已知x1z5cos2i5sin2，则z=________.
R，f(x)x2x1x2x1，则f(x)的值域为________.
0的解集为________.
5、方程3logx42log4x43log16x46、将1，2，3，4，5，6，7，8，9进行排序，则1，2不在原来位置上的概率p=________. 7、数列a1,a2,...,an,...中相邻的两项an,an1是二次多项式x个根，并且已知a122nxcn0(n1,2,...)的两
1，则c2k=________（用k表示）.
8、圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖。A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫。若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬________cm.（不计杯壁厚度与小虫的尺寸） 9、在△ABC中，AB22,BC51,AC51，则AB边上的高为________．
10、设|a||b|1，a与b的夹角为________. 二、（20分）
已知P为△ABC内一点，BC3，则以ab与3ab为邻边的平行四边形的面积为
a,CAb,ABc，点P到三边BC，CA，AB的距离
a分别为d1,d2,d3，S表示△ABC的面积，求证：
d1三、（20分）
找出所有满足tanAtanBtanC四、（25分）
bd2cd3(abc)2.?
2S[tanA][tanB][tanC]的非直角三角形△ABC.?
在x轴上方作圆与x轴相切，切点为A(3,0)，分别从点B(3,0),C(3,0)作该圆的切线BP和CP，并相交与P。设点C在∠BPC的角平分线上的投影为Q。
（1）求点P的轨迹方程，并求其横坐标的取值范围； （2）求点Q的轨迹方程，并求其横坐标的取值范围。 五、（20分）
已知四面体ABCD，平面π平行于直线AB和CD，并且平面π与四面体ABCD的截面为四边形EFGH（如图），平面π到直线AB，CD的距离分别为d1,d2。设kd1，计算五d2
面体AEHBFG的体积与四面体ABCD的体积之比（用k表示）.
六、（20分）
解方程x?3x?3x?2
七、（25分）
设R为实数集，找出所有定义在R上且使得
f(f(x?y))?f(x?y)?f(x)f(y)?xy
对所有实数x，y都成立的函数f（x）
2009年南京大学数学基地班自主招生考试数学试题
