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公式的推导过程是多数学生能独立解决的,教学中应放手让学生推导并体会数形结合与分类讨论的思想,有助于培养学生研究问题的独立性、条理性、全面性。
教学重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式;
3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。
教学难点:用代数方法推导斜率的过程。 四、本节课的教学方法:
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 五、教学过程设计 (一)创设情境,揭示课题
问题1、给出的两点P、Q相同吗?如何区分这两个点?
问题2、过这两点可作什么图形?只经过其中一点(如点P)可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还有其他方法吗?可以增加一个什么几何量?
【设计意图】引导学生归纳确定直线位置的几何要素
问题3、角的形成还需一条线。即要有刻画倾斜程度的角,就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角?
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问题4、过点P与x轴形成45?角的直线有几条?如何区分这两条直线? 选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢?
【设计意图】倾斜角的形成离不开“基准”与“直线方向”的规定,同时让学生感受数学概念是自然的以及数学定义的统一美与简洁美,从而提示本节课的课题。
〖学生练习〗画出过一点的各类倾斜角的直线,并完善倾斜角的定义。 (二)巩固旧知,同化新知
根据学生的生活经验,将坡度自然迁移到斜率的概念上,通过坡角(倾斜角)的变化,感受斜率的变化,使学生认识到数学概念是亲切的,激发其求知欲。
问题5:生活中坡角没钝角,当?为钝角时,直线的斜率如何求? 【设计意图】使学生会用转化思想求?为钝角时的斜率,明确课本脚注的用法。
问题6、当?在[0?,180?)内变化时,斜率k如何变化? 【设计意图】更条理、更全面地认识斜率与倾斜角的变化关系。 问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 【设计意图】突出斜率刻画倾斜程度的优越性是更细致入微,使用方便简洁。
(三)尝试推导,深化认识
两点确定唯一一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即倾斜角与斜率。看来,直线上两点与直线的斜率有着密不可分
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的联系。
问题8、在平面直角坐标系中,已知直线上两点:P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1 ? x2,能否用P1 、P2的坐标来表示直线斜率k? (学生活动):在坐标系下画两点P1 、P2及直线P1 P2,探究各种图形并尝试推导。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似升高量与前进量,用点的坐标表示线段长,请同学叙述各个图的推导过程与结果。
【设计意图】给学生提供充分的自主探索的时间与空间,克服公式推导中不易把握的两点(1、两点坐标与tan?的联系;2、图形分析不全面),培养数形结合与分类讨论的思想,促进思维的独立性、全面性,逻辑性。
思考:1、各种情形得出的结论一致吗?与两点坐标顺序有关系吗?
2、当直线垂直于x轴或y轴时,上述结果适用吗? 3、斜率公式使用时应注意什么问题? 【设计意图】熟悉公式的结构特征及适用范围。 (四)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?)
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率),知道了求斜率的两种方法(定义法、坐标法)
3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想 六、预期效果分析
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1、两个概念的形成,估计通过问题情境的设置,学生能达到预期的教学目标,而且这样设计之后,概念得出是自然的,不是强加于人的。
2、斜率公式的推导可能存在学生对图形考虑不全面的问题,需要教师适当进行引导。
《直线的倾斜角与斜率》课程教案及说明
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