1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
?102??,则020(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B??r(AB)=_____________. ?????103??二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
a100b10a2b20(5)四阶行列式的值等于
0a3b30b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)
(C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)
八、（本题满分6分）
设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明 (1)A2?A的充分条件是ξTξ?1. (2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）
22已知二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2, (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
?12?2??,B为三阶非零矩阵,且4t3(4)设A??AB?O,则t=_____________. ????3?11??二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
a1x?b1y?c1?0,?a1??b1??c1??,α??b?,α??c?,则三条直线 ax?by?c?0, a (4)设α1??2222??2?2?3?2????a3x?b3y?c3?0?a3???b3???c3??(其中ai2?bi2?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关
(B)α1,α2,α3线性无关
(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
(1)设B是秩为2的5?4矩阵,α1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1]T,α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方程组Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
?2?12??1??是矩阵A??5a3?的一个特征向量. 1(2)已知ξ??????????1????1b?2?? 1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值. 2)问A能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆. (2)求AB?1.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2?E必有特征值________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设矩阵 ?a1b1c1??abc?是满秩的,则直线x?a3y?b3z?c3与直线x?a1y?b1z?c1
????222??a1?a2b1?b2c1?c2a2?a3b2?b3c2?c3??abc?333?(A)相交于一点 (B)重合(C)平行但不重合（D)异面 十、（本题满分6分）
?x??????P???化为椭圆柱面方程22y已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换???4??4,求a,b的值和正交矩阵P. ???????z??????十一、（本题满分4分） 设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向量α,且Ak?1α?0. 证明:向量组α,Aα,,Ak?1α是线性无关的.
十二、（本题满分5分）
a11x1?a12x2??a1,2nx2n?0已知方程组(Ⅰ)
a21x1?a22x2? an1x1?an2x2??a2,2nx2n?0?an,2nx2n?0b11y1?b12y2??b1,2ny2n?0?b2,2ny2n?0?bn,2ny2n?0b21y1?b22y2? bn1y1?bn2y2?
的一个基础解析为(b11,b12,,b1,2n)T,(b21,b22,,b2,2n)T,,(bn1,bn2,,bn,2n)T.试写出线性方程组(Ⅱ)
的通解,并说明理由.
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则
(A)当m?n时,必有行列式|AB|?0 (B)当m?n时,必有行列式|AB|?0
(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0 十、(本题满分8分)
(D)当n?m时,必有行列式|AB|?0
?a?1c??,其行列式T5b3设矩阵A??|A|??1,又A的伴随矩阵A有一个特征值?0,属于?0的一个特征向量为α?(?1,?1,1),求a,b,c和?0的值. ????1?c0?a??十一、(本题满分6分)
*设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
1??x1??1??12??x???3?无解,则= _____. 23a?2(4)已知方程组?a???2?????1a?2????x3????0??二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.
(4)设n维列向量组α1,,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,(A)向量组α1,,αm可由向量组β1,(C)向量组α1,,αm与向量组β1,十、(本题满分6分)
?10?01*?设矩阵A的伴随矩阵A??10??0?3,βm线性无关的充分必要条件为
,βm可由向量组α1,,αm)与矩阵B?(β1,,αm线性表示 ,βm)等价
,βm线性表示 (B)向量组β1,,βm等价 (D)矩阵A?(α1,00100?0??,?1?10?且ABA?BA?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B. ?8?十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练
6?x?工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量?n?.
5?yn??xn?1??xn??xn?1??xn?(1)求???A??. ?与??的关系式并写成矩阵形式:?yyy?n?1??yn??n?1??n??1??x??4???1??x???(2)验证η1???,η2???是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当?1???2?时,求?n?1?.?1??1??yn?1??y1??1????2?
历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)讲解
