历年考研数学一真题1987-2016
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)
?301??,求矩阵 110 (2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A??B.????014??五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a
(B)1a
(C)an?1 (D)an
九、（本题满分8分）
x1?x2?x3?x4?0问a,b为何值时,现线性方程组
x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b
3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式A?B= _______.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n维向量组α1,α2,,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是
(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使k1α1?k2α2??ksαs?0 (B)α1,α2,(C)α1,α2,,αs中任意两个向量均线性无关
,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D)α1,α2,,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分）
?100??100??,P??2?10?,求5000已知AP?BP,其中B??A,A. ???????00?1???211??八、（本题满分8分）
?200??200??与B??0y0?相似. 001已知矩阵A?????????00?1???01x??(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
?300??100??,I??010?,则矩阵(A?2I)?1=_____________. 140 (5)设矩阵A?????????003???001??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中
(A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、（本题满分6分）
?x1?x3???问?为何值时,线性方程组?4x1?x2?2x3???2有解,并求出解的一般形式.
?6x?x?4x?2??33?12八、（本题满分8分）
假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)1为A?1的特征值.
?A(2)为A的伴随矩阵A*的特征值.
?
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7), 则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组
AX?b的通解(一般解)必是
(A)k1α1?k2(α1?α2)?β1?β2
2(C)k1α1?k2(β1?β2)?β1?β2
2
(B)k1α1?k2(α1?α2)?β1?β2
2(D)k1α1?k2(β1?β2)?β1?β2
2七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
?1?100??2?01?10??0?,C??B???001?1??0???0001???0134?213?? 021??002?且矩阵A满足关系式
A(E?C?1B)?C??E
其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
22八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型f?x12?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
?5200??2100??,则A的逆阵A?1=_____________. (5)设4阶方阵A???001?2???0011??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E (B)CBA?E (C)BAC?E (D)BCA?E 七、（本题满分8分）
已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及β?(1,1,b?3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.
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