简化解析几何运算的5个技巧
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．
巧用定义，揭示本质 定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．
x22
[典例] 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的
4公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
36
A．2 B．3 C． D．
22[答案]：D [方法点拨]
本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [对点演练]
|PF|
抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．
|PA|[答案]：
2 2
1
设而不求，整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．
x2y2
[典例]已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为
ab(1，－1)，则E的标准方程为( )
x2y2x2y2x2y2x2y2
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
453636272718189[答案] D [方法点拨]
本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． [对点演练]
1x2y2
过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则
2ab椭圆C的离心率等于________． 答案：
2
2
巧用“根与系数的关系”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
x2y2
[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E
t3于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围． [解] 设M(x1，y1)，则由题意知y1>0．
2
x2y2
(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
43
π
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．因此直线AM的方程为y＝x＋2．
4x2y21212
将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0．解得y＝0或y＝，所以y1＝．
437711212144
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．
27749
x2y2
(2)由题意知t>3，k>0，A(－t，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1，
t3得(3＋tk2)x2＋2故|AM|＝|x1＋t|t·tk2x＋t2k2－3t＝0．由1＋k2＝
6t?1＋k2?
．
3＋tk2
t2k2－3tt?3－tk2?
x1·(－t)＝，得x1＝，
3＋tk23＋tk2
6kt?1＋k2?1
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，故同理可得|AN|＝．
k3k2＋t由2|AM|＝|AN|，得
2k
＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)． 223＋tk3k＋t
3k?2k－1?3当k＝2时上式不成立，因此t＝3．
k－2
k3－2k2＋k－2?k－2??k2＋1?k－2
t>3等价于＝<0，即<0．
k3－2k3－2k3－2
?k－2>0，?k－2<0，??3因此得?3或?3解得2 ???k－2<0?k－2>0， 3故k的取值范围是(2，2)． [方法点拨] t?3－tk2? 本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x1＝，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常 3＋tk2 用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量． [对点演练] 3x2y21 1，?，左、右焦点分别为F1，F2． 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P??2?ab2(1)求椭圆C的方程； 32(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切 7的圆的方程． c1 解：(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2， a23 1，?的坐标代入椭圆方程得c2＝1， 将点P??2?x2y2 故所求椭圆方程为＋＝1． 43 (2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1， 3 代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 显然判别式大于0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0， －96t32 则有y1＋y2＝，yy＝1222，r0＝7， 4＋3t4＋3t 12t2＋1112所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝|F1F2|·|y1－y2|＝|F1F2|·?y1＋y2?－4y1y2＝． 224＋3t2111 而S△AF2B＝|AB|r0＋|BF2|r0＋|AF2|r0 2221 ＝r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|) 21 ＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|) 21＝r0·4a 2132＝×8× 27＝122 ， 7 12t2＋1122所以＝，解得t2＝1， 274＋3t因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2． 2 ＝2， t2＋1 借“曲线系”，理清规律 利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一． x2y2 [典例] 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准 ab线上，则双曲线的方程为( ) x2y2x2y2x2y2x2y2 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 3610892710836279[答案] B [方法点拨] 本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍． 4 [对点演练] 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( ) A．x2＋y2－x＋7y－32＝0 C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0 B．x2＋y2－x＋7y－16＝0 D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0 解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0， 4＋28λ66λ 即x2＋y2＋x＋y－＝0， 1＋λ1＋λ1＋λ33λ 其圆心坐标为?－1＋λ，－1＋λ?， ?? 33λ 又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0， 1＋λ1＋λ解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0． 巧引参数，方便运算 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍． 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件． 5
高中数学 - 圆锥曲线压轴题命题区间
