§4.6矩形、菱形、正方形
A组
一、选择题
1．(2015·四川泸州，6，3分)菱形具有而平行四边形不具有的性质是A．两组对边分别平行C．对角线互相平分解析
B．两组对角分别相等D．对角线互相垂直
(
)
2015年全国中考题组
根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
A．不正确，两组对边分别平行，两者均有此性质；B．不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；C．不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D．菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．答案
D
2．(2015·山东日照，6，3分)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①
AB＝BC，②∠ABC＝90°，
③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是A．①②C．①③解析
B．②③D．②④
(
)
A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是
菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形
ABCD是正方形，故此选项正确；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项错误．答案
B
3．(2015·山东青岛，7，3分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为A．4 C．47 解析
有三角形的中位线的性质可得
B．46 D．28
AC＝2EF＝23，再由菱形的性质可得
OA＝
(
)
3，BO＝2，所以AB＝答案
C
22
（3）＋2＝7，所以周长＝4AB＝47.
4．(2015·安徽，9，4分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是A．25 解析
B．35
C．5
D．6
(
)
连结EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到
EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AEO，得到AO＝CO，1
求出AO＝2AC＝25，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．答案
C
5．(2015·重庆B卷，12，4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOCk
＝60°，顶点C的坐标为(m，33)，反比例函数y＝的图象
x与菱形对角线AO交D点，连结BD，当DB⊥x轴时，k的值是(
)
B．－63
A．63
C．123 解析
D．－123
首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶
点C的坐标为(m，33)，可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数答案
D
k
y＝的图象与菱形对角线
x
AO交D点，即可求得答案．
二、填空题
6．(2015·湖北黄冈，12，3分)如图，在正方形ABCD中，点F
为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于________度．解析
根据正方形的性质得出∠BAE＝∠DAE，再利用SAS
证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．答案
65
7．(2015·山东滨州，14，4分)如图，菱形ABCD的边长为15，3
sin∠BAC＝，则对角线AC的长为________．
5解析
连结BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△AOB中，3∵AB＝15，sin∠BAC＝，
5BO3
∴sin∠BAC＝＝，
AB5
∴BO＝9，∴AB＝OB＋AO，∴AO＝
AB－OB＝
2
22
2
2
15－9＝12，
22
∴AC＝2AO＝24. 答案
24
8．(2015·四川宜宾，12，3)如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE＝3，则点P到AD的距离为________．解析
由菱形的性质：“菱形的对角线平分每一组对角”得AC
平分∠DAB，∵PE⊥AB于点E，若PE＝3，∴点P到AD的距离＝PE＝3. 答案
3
9．(2015·山东日照，14，4分)边长为1的一个正方形和一个等
边三角形如图摆放，则△ABC的面积为______．解析
过点C作CD和CE垂直正方形的两个边或其延长线，
垂足分别为D，E，如图，则四边形DBEC是矩形，1∴CE＝DB＝，
2
111
∴△ABC的面积＝×1×＝.
224答案
1
4
三、解答题
10．★(2015·浙江嘉兴，19，8分)如图，正方形ABCD中，点E，F
分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G. (1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．解
(1)与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD，∠CDE；
(2)选∠AED＝∠BFA.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠B＝90°，DA＝AB. 在Rt△DAE与Rt△ABF中，DA＝AB，AF＝DE，∴Rt△DAE≌Rt△ABF. ∴∠AED＝∠BFA.
11．(2015·浙江衢州，21，8分)如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC
上的点A′处，然后将矩形展平，沿
EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，
再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(1)证明
由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.
由矩形ABCD知AD＝BC，∴EG＝CH. (2)解
∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，∴DG＝2，DF＝2，∴AD＝2＋2，
由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°. ∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE. 又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB，∴AF＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝2＋2＋2＝2＋22.
AF＝2.
2021学年中考数学复习专题练46矩形菱形正方形
