∴OC⊥AB， ∴∠BOC＝90°， ∵E是OB的中点， ∴OE＝BE， 在△OCE和△BFE中，，
∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF＝∠COE＝90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝2， ∴OB＝OC＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS）， ∴BF＝OC＝1， ∴AF＝
＝
＝
， ∴S△ABF＝AB×BF＝AF×BD， ∴2×1＝?BD， ∴BD＝
．
（3）解：作AG⊥CE于G，如图2所示：∵AB＝2，
∴OA＝OC＝OB＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS）， ∴OE＝BE＝OB＝，
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∴AE＝OA+OE＝， ∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC＝AB＝，
∵OC⊥AB， ∴CE＝
＝
＝
，
∵△ACE的面积＝CE×AG＝AE×OC，
∴AG＝＝＝，
∴CG＝＝
＝，∴cos∠ACF＝
＝
＝
．
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2．（1）证明：连接OE，如图， ∵AC为切线， ∴OE⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∵∠C＝90°， ∴OE∥BC， ∴∠1＝∠3， ∵OB＝OE， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL）， ∴BC＝BH；
（2）在Rt△ABC中，BC＝
＝3，
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设OE＝r，则OA＝5﹣r， ∵OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴
＝
，即
＝，解得r＝，
∴AO＝5﹣r＝
，
在Rt△AOE中，AE＝＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
3．（1）证明：连接FO， ∵CN＝AC， ∴∠CAN＝∠CNA， ∵AC∥ME， ∴∠CAN＝∠MFN， ∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN， ∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°， ∵AO＝FO， ∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
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∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a， ∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a， ∵CA＝CN， ∴NH＝a， ∴AN＝
＝
＝
a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12， 设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9， 由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2， 解得：r＝
，
∴圆O的直径为25； （3）∵CH＝DH＝12， ∴CD＝24， ∵AC：CD＝5：8， ∴CN＝AC＝15， ∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA， ∴△FND∽△CNA，
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2024年九年级中考三轮冲刺复习培优练习：《圆》证明与计算综合（五）
