_1.1
导数的概念
1.1.1 平均变化率
假设下图是一座山的剖面示意图,并在上面建立平面直角坐标系.A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x0,y0),点B的坐标为(x1,y1).
问题1:若旅游者从A点爬到B点,则自变量x和函数值y的改变量Δx,Δy分别是多少?
提示:Δx=x1-x0,Δy=y1-y0.
问题2:如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度?
Δy
提示:对于山坡AB,可用来近似刻画山路的陡峭程度.
ΔxΔyy1-y0
问题3:试想=的几何意义是什么?
Δxx1-x0Δyy1-y0
提示:=表示直线AB的斜率.
Δxx1-x0
ΔyΔy
问题4:从A到B,从A到C,两者的相同吗?的值与山路的陡峭程度有什么关系?
ΔxΔxΔy
提示:不相同.的值越大,山路越陡峭.
Δx
1.一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为
f?x2?-f?x1?
. x2-x1
2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
在函数平均变化率的定义中,应注意以下几点: (1)函数在[x1,x2]上有意义;
f?x2?-f?x1?(2)在式子中,x2-x1>0,而f(x2)-f(x1)的值可正、可负、可为0.
x2-x1
(3)在平均变化率中,当x1取定值后,x2取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;同样的,当x2取定值后,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.
[对应学生用书P3]
[例1] (1)求函数f(x)=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率; (2)求函数g(x)=3x-2在区间[-2,-1]上的平均变化率.
[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量,从而求出平均变化率. [精解详析] (1)函数f(x)=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为: f?2.1?-f?2??3×2.12+2?-?3×22+2?
==12.3.
0.12.1-2
(2)函数g(x)=3x-2在区间[-2,-1]上的平均变化率为[3×?-1?-2]-[3×?-2?-2] ?-1?-?-2?
g?-1?-g?-2?
=
?-1?-?-2?
求函数在某区间的平均变化率 =
?-5?-?-8?
=3.
-1+2
[一点通] 求函数平均变化率的步骤为: 第一步:求自变量的改变量x2-x1; 第二步:求函数值的改变量f(x2)-f(x1); f?x2?-f?x1?
第三步:求平均变化率.
x2-x1
1.函数g(x)=-3x在[2,4]上的平均变化率是________. 解析:函数g(x)=-3x在[2,4]上的平均变化率为-12+6
=-3. 2
答案:-3
2.如图是函数y=f(x)的图象,则:
(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.
f?1?-f?-1?2-11
解析:(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为==. 221-?-1?x+3??,-1≤x≤1,
2(2)由函数f(x)的图象知,f(x)=? ??x+1,1 3 3-23f?2?-f?0? 所以,函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为==. 242-013 答案::(1) (2) 24 3.本例条件不变,分别计算f(x)与g(x)在区间[1,2]上的平均变化率,并比较变化率的大小. f?2?-f?1?3×22+2-?3×12+2? 解:(1)==9. 2-12-1g?2?-g?1?3×2-2-?3×1-2? (2)==3. 2-12-1f(x)比g(x)在[1,2]上的平均变化率大. 实际问题中的平均变化率 g?4?-g?2?-3×4-?-3?×2 == 4-24-2 [例2] 物体的运动方程为S=t+1(位移单位:m;时间单位:s),求物体在t=1 s到t=(1+Δt)s这段时间内的平均速度. [思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度,就是求位移的改变量与时间的改变量的比值. [精解详析] 物体在[1,1+Δt]内的平均速度为 S?1+Δt?-S?1??1+Δt?+1-1+1 = Δt?1+Δt?-1== 2+Δt-2?2+Δt-2??2+Δt+2? = ΔtΔt?2+Δt+2?1 (m/s). 2+Δt+2 1 m/s. 2+Δt+2 即物体在t=1 s到t=(1+Δt)s这段时间内的平均速度为 [一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见,常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键. 4.圆的半径r从0.1变化到0.3时,圆的面积S的平均变化率为________. 解析:∵S=πr2,∴圆的半径r从0.1变化到0.3时, 圆的面积S的平均变化率为 S?0.3?-S?0.1?π×0.32-π×0.12 ==0.4π. 0.20.3-0.1答案:0.4π 5.在F1赛车中,赛车位移(单位:m)与比赛时间t(单位:s)存在函数关系S=10t+5t2,则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少? 解 : 赛 车 在 [20,20.1] 上 的 平 均 速 度 为 S?20.1?-S?20? 20.1-20 = ?10×20.1+5×20.12?-?10×20+5×202?21.05 ==210.5(m/s). 0.120.1-20 [例3] 甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,试比较两人的速度哪个大? [思路点拨] 要比较两人的速度,其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率,通过平均变化率的大小关系得出结论. [精解详析] 在t0处s1(t0)=s2(t0), 但 s1?t0?-s1?t0-Δt?s2?t0?-s2?t0-Δt? <, ΔtΔt 函数平均变化率的应用 所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大,因此,在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大. [一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢,平均变化率的绝对值越大,函数在区间上的变化率越快;平均变化率的绝对值越小,函数在区间上的变化率越慢. 6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系是________. s?t1?-s?t0?解析:v1==kOA, t1-t0v2=v3= s?t2?-s?t1? =kAB, t2-t1s?t3?-s?t2? =kBC, t3-t2 由图象知:kOA 7.A、B两机关开展节能活动,活动开始后,两机关每天的用电情况如图所示,其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系,则下列说法一定正确的是________.(填序号) ①两机关节能效果一样好; ②A机关比B机关节能效果好; ③A机关在[0,t0]上的用电平均变化率比B机关在[0,t0]上的用电平均变化率大; ④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大. 解析:由图可知,在t=0时,W1(0)>W2(0), 当t=t0时,W1(t0)=W2(t0), W1?t0?-W1?0?W2?t0?-W2?0?所以<, t0t0
【苏教版】2018-2019学年高二数学选修2-2全册讲义(Word版,含答案)
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