_1.1
导数的概念
1．1.1 平均变化率
假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．
问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？
提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.
问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？
Δy
提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．
ΔxΔyy1－y0
问题3：试想＝的几何意义是什么？
Δxx1－x0Δyy1－y0
提示：＝表示直线AB的斜率．
Δxx1－x0
ΔyΔy
问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？
ΔxΔxΔy
提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．
Δx
1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为
f?x2?－f?x1?
. x2－x1
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x1，x2]上有意义；
f?x2?－f?x1?(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.
x2－x1
(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．
[对应学生用书P3]
[例1] (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为： f?2.1?－f?2??3×2.12＋2?－?3×22＋2?
＝＝12.3.
0.12.1－2
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为[3×?－1?－2]－[3×?－2?－2] ?－1?－?－2?
g?－1?－g?－2?
＝
?－1?－?－2?
求函数在某区间的平均变化率 ＝
?－5?－?－8?
＝3.
－1＋2
[一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x2－x1； 第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； f?x2?－f?x1?
第三步：求平均变化率.
x2－x1
1．函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率为－12＋6
＝－3. 2
答案：－3
2.如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
f?1?－f?－1?2－11
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝. 221－?－1?x＋3??，－1≤x≤1，
2(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝? ??x＋1，1 3 3－23f?2?－f?0? 所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 242－013 答案：：(1) (2) 24 3．本例条件不变，分别计算f(x)与g(x)在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小． f?2?－f?1?3×22＋2－?3×12＋2? 解：(1)＝＝9. 2－12－1g?2?－g?1?3×2－2－?3×1－2? (2)＝＝3. 2－12－1f(x)比g(x)在[1,2]上的平均变化率大． 实际问题中的平均变化率 g?4?－g?2?－3×4－?－3?×2 ＝＝ 4－24－2 [例2] 物体的运动方程为S＝t＋1(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度． [思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值． [精解详析] 物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为 S?1＋Δt?－S?1??1＋Δt?＋1－1＋1 ＝ Δt?1＋Δt?－1＝＝ 2＋Δt－2?2＋Δt－2??2＋Δt＋2? ＝ ΔtΔt?2＋Δt＋2?1 (m/s)． 2＋Δt＋2 1 m/s. 2＋Δt＋2 即物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为 [一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键． 4．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________． 解析：∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时， 圆的面积S的平均变化率为 S?0.3?－S?0.1?π×0.32－π×0.12 ＝＝0.4π. 0.20.3－0.1答案：0.4π 5．在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？ 解 ： 赛 车 在 [20,20.1] 上 的 平 均 速 度 为 S?20.1?－S?20? 20.1－20 ＝ ?10×20.1＋5×20.12?－?10×20＋5×202?21.05 ＝＝210.5(m/s)． 0.120.1－20 [例3] 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？ [思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论． [精解详析] 在t0处s1(t0)＝s2(t0)， 但 s1?t0?－s1?t0－Δt?s2?t0?－s2?t0－Δt? <， ΔtΔt 函数平均变化率的应用 所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大． [一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢． 6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系是________． s?t1?－s?t0?解析：v1＝＝kOA， t1－t0v2＝v3＝ s?t2?－s?t1? ＝kAB， t2－t1s?t3?－s?t2? ＝kBC， t3－t2 由图象知：kOA 7．A、B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号) ①两机关节能效果一样好； ②A机关比B机关节能效果好； ③A机关在[0，t0]上的用电平均变化率比B机关在[0，t0]上的用电平均变化率大； ④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大． 解析：由图可知，在t＝0时，W1(0)>W2(0)， 当t＝t0时，W1(t0)＝W2(t0)， W1?t0?－W1?0?W2?t0?－W2?0?所以<， t0t0
【苏教版】2018-2019学年高二数学选修2-2全册讲义(Word版,含答案)
