2021届高三开学摸底测试卷理科数学2
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）
1．已知集合P＝已知集合P={??|＜1，??∈??}，??={??|??2????2＜0，??∈??}，则P∩Q＝（ ） A．?
1???
2??B．（1，2） C．（﹣1，0） D．（2，+∞）
2．设复数??=1+??+(1+??)2（i为虚数单位），则复数??=（ ） A．﹣i 3．函数??(??)=
B．0
C．i
D．2+i
??+1
????????|??|（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ） |??+1|A． B．
C． D．
4．1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为：y＝2t1，且该种病毒细胞的个数超过108
﹣
时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（lg2≈0.3010） A．25
B．26
C．27
1
D．28
1
1
1
5．已知命题P：”存在正整数N，使得当正整数n＞N时，有1+2+3+4+?+??＞2020成立”，命题Q：“对任意的λ∈R，关于x的不等式1.001x﹣λx1001＞0都有解”，则下列命
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题中不正确的是（ ） A．P∧Q为真命题 C．P∨Q为真命题
B．￢P∨Q为真命题 D．￢P∨￢Q为真命题
6．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下： 甲猜测：我不会入围，丙一定入围； 乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中； 丙猜测：乙和丁中有一人入围； 丁猜测：甲的猜测是对的．
成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（ ） A．甲和丙
B．乙和丁
C．甲和丁
→
D．乙和丙
→
→
7．如图，圆O的直径MN＝3，P，Q为半圆弧上的两个三等分点，则?????(????+????)=（ ）
A．3
B．
29
C．3√3 D．9
8．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3
B．100cm3 C．92cm3
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D．84cm3
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）满足f（x+）＝﹣f（x），若把函数f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则函数f（x）的解析式
3??
??
2??2可以为（ ） A．f（x）＝sin（x+6） C．f（x）＝sin（4x+3）
????
B．f（x）＝sin（2x?3） D．f（x）＝sin（2x?6）
??+??
??
??
10．已知锐角三角形△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且????????2=??????????，c＝2，则△ABC面积的取值范围为（ ） A．（
√3，2√3） 2
B．（√3，2√3） C．（
√3，√3） 2
D．（
√3√3，） 82
11．已知函数f（x）＝eln（x﹣2），g（x）＝x，若f（x1）＝g（x2），则x1﹣x2的最小值为（ ） A．1
B．2
C．e
D．3
??2??2
12．已知双曲线??：2?2=1(??＞0，??＞0)的左右焦点分别为F1、F2，且抛物线E：y2＝
????
2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点F2重合，点P为C与E的一个交点，且直线PF1的倾斜角为45°，则双曲线的离心率为（ ） A．
√5+1 2
B．√2+1 C．√3 D．
3+√5 2
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分） 13．(???)5展开式中x项的系数是 ．
??+??1≤?????≤2
14．已知实数x，y满足{，则的最小值为 ．
??≥1??
1
??15．已知圆O：x2+y2＝1，直线l：y＝2x+a，过直线l上的点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，若存在点P使得????+????=????，则实数a的取值范围是 ． 16．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为4√6，高为6√2，其内切球与面PAB切于点M，球面上与P距离最近的点记为N，若平面α过点M，N且与AB平行，则平面α截该正四棱锥所得截面的面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，点M在
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→
→
3
2→
线段AD上，且2AM＝MD，N为PB的中点，AD∥BC，MN∥面PCD． （Ⅰ）求BC的长；
（Ⅱ）若PA＝2，求二面角N﹣PM﹣D的余弦值
18．（12分）2020年3月22日是第二十八届“世界水日”3月22﹣28日是第三十三届“中国水周”，主题为“坚持节水优先，建设幸福河湖”，效仿阶梯电价，某市准备实施阶梯水价．阶梯水价原则上以一套住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准，具体划分阶梯如表：
梯类
月用水量范围（立方
米）
从本市居民用户中随机抽取10户，并统计了在同一个月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图．
（Ⅰ）若从这10户中任意抽取三户，求取到第二阶梯用户数X的分布列和数学期望； （Ⅱ）用以上样本估计全市的居民用水情况，现从全市随机抽取10户，则抽到多少户为第二阶梯用户的可能性最大？
第一阶梯 （0，10]
第二阶梯 （10，15]
第三阶梯 （15，+∞]
19．（12分）已知椭圆C：??2??2+
??2??2=1(??＞??＞0)的左右焦点分别为F1，F2，其短轴的两个
端点分别为A，B，若△F1AB是边长为2的等边三角形． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）且斜率为k的直线交椭圆C于P，Q两点，在y轴上是否存在定点N，使得直线PN，QN的斜率乘积为定值，若存在，求出定点，若不存在，请说明理
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由．
20．（12分）已知Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，a1＝1且2Sn＝an+1﹣1（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1＝3n﹣n﹣1成立，求满足等式Tn＝an的所有正整数n．
21．（12分）若函数f（x）＝ex的图象与g（x）＝kx的图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为（x0，y0）． （Ⅰ）求实数k的取值范围； （Ⅱ）证明：f（x0）＜g（1）＜y0．
选考题（本大题共10分请老生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
??=????????+√3????????22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{（α为参数），
??=?????????√3????????坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（??+6）＝2．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|?|PB|为定值． [选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|的最小值为m． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c为正实数，且
1????
??
+
12????
+
13????
=，求证：+
3
9
2??2??9
+
??3
≥．
2
1
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