第3节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1．设A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
?
解析：A [由已知得?x＋?1－x－y?＞y，
??y＋?1－x－y?＞x，
?x＋y＞1－x－y，
??1
即?y＜，
21?x＜?2.
x＋y＞，
1
2
]
2．(2020·西安市模拟)已知O是坐标原点及点A(2,1)，点M(x，y)是平面区域
y≤x??
?x＋y≤1??y≥－1
→→
，内的一个动点，则OA·OM的最大值为( )
A．3 C．－3
3B. 2D．－4
→→
解析：A [设z＝OA·OM，则z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，
??y＝－1
平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过?
??x＋y＝1
的交点A(2，－
1)时，
直线y＝－2x＋z的截距最大，此时z也最大， 此时zmax＝2×2－1＝3.]
x－y＋1≥0??
3．(2020·天津市模拟)已知x，y满足不等式组?x＋y－1≤0
??3x－y－3≤0
2x－y＋3的最小值为( )
A．1 C．4
解析：B [由约束条件作出可行域如图，
B．2 D．5
，则目标函数z＝
设可行域内一点(x，y)，
由图可知，直线z＝2x－y＋3经过D点时取到最大值，经过C点时取到最小值，
??x－y＋1＝0
联立?
?x＋y－1＝0?
，解得C(0,1)，
∴z的最小值为－1＋3＝2.]
y≤－x＋2??
4．(2020·德州市一模)已知不等式组?y≤kx＋1
??y≥0
的三角形，则实数k的值为( )
A．1 C．1或－2
所表示的平面区域为面积等于
9
4
B．－2 2D．－
9
y≤－x＋2??
解析：A [∵不等式组?y≤kx＋1
??y≥0
9
所表示的平面区域为面积等于的三角形，如图：
4
平面为三角形，且过点(2,0)，
?1?∵y＝kx＋1，与x轴的交点为?－，0?，
?k?
y＝kx＋1与y＝－x＋2的交点为?
?1，2k＋1?，
?
?k＋1k＋1?
1?1?2k＋19
三角形的面积为：×?2＋?×＝，
k?k＋142?解得k＝1.]
x＋2y≤1??
5．(2019·厦门市一模)设x，y满足约束条件?2x＋y≥－1
??x－y≤0
大值是( )
1
A. 34C. 3
B．1 D．2
，则z＝|x＋3y|的最
x＋2y≤1??
解析：D [画出x，y满足约束条件?2x＋y≥－1
??x－y≤0
表示的平面区域，
??x－y＝0
由?
?x＋2y＝1?
?11?解得B?，?，
?33?
??x＋2y＝1由?
?2x＋y＝－1???x－y＝0由?
?2x＋y＝－1?
解得A(－1,1)，
1??1
解得C?－，－?.
3??3
设目标函数为z′＝x＋3y，作出目标函数对应的直线，
1?4?1
直线过C?－，－?时，直线的纵截距最小，z′最小，最小值为－；当直线过A(－1,1)
3?3?3时，直线的纵截距最大，z′最大，最大值为2；∴目标函数z＝|x＋3y|的取值范围是[0,2]，最大值为2.]
x≤2??
6．(2019·泉州市模拟)若x，y满足约束条件?x－y＋1≤0
??x＋2y－2≥0
值为 _____ .
，则z＝x＋y的最小
22
x≤2??
解析：不等式组?x－y＋1≤0
??x＋2y－2≥0
表示的平面区域如图所示，
则z＝x＋y的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知，OA的距离最小，
??x－y＋1＝0
由???x＋2y－2＝0
22
2
，解得A(0,1)，
所以|OA|＝1，
所以z＝x＋y的最小值为1. 答案：1
2
2
x－y＋2≥0??
7．若不等式组?ax＋y－2≤0
??y≥0
________ .
，表示的平面区域的面积为3，则实数a的值是
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积
??S＝×?＋2?×2＝3，解得a＝2. 2?a?
12
答案：2
x－y＋1≥0??
8．(2019·聊城市一模)设x，y满足约束条件?x－2y≤0
??x＋2y≤0
值为 ________ .
x?1?y，则z＝2??的最大
?16?
x－y＋1≥0??
解析：画出约束条件?x－2y≤0
??x＋2y≤0
表示的平面区域，如图所示；
x?1?yx－4yx－4y又z＝2??＝2·2＝2，
?16?
设t＝x－4y，
则目标函数t＝x－4y过点B时，取得最大值， 由?
?x－y＋1＝0?
??x－2y＝0
，得B(－2，－1)；
＝4.
∴z的最大值为2答案：4
－2－4×(－1)
x＋y≥0??9．(2019·杭州市高三模拟)若实数x，y满足?x≤1
??x－2y≥0
求：(1)x的取值范围； (2)|x|＋|y|的取值范围． 解：
.
2020版高考数学总复习第六章不等式、推理与证明第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时冲关
