第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.设A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
?
解析:A [由已知得?x+?1-x-y?>y,
??y+?1-x-y?>x,
?x+y>1-x-y,
??1
即?y<,
21?x<?2.
x+y>,
1
2
]
2.(2020·西安市模拟)已知O是坐标原点及点A(2,1),点M(x,y)是平面区域
y≤x??
?x+y≤1??y≥-1
→→
,内的一个动点,则OA·OM的最大值为( )
A.3 C.-3
3B. 2D.-4
→→
解析:A [设z=OA·OM,则z=2x+y,即y=-2x+z,
??y=-1
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过?
??x+y=1
的交点A(2,-
1)时,
直线y=-2x+z的截距最大,此时z也最大, 此时zmax=2×2-1=3.]
x-y+1≥0??
3.(2020·天津市模拟)已知x,y满足不等式组?x+y-1≤0
??3x-y-3≤0
2x-y+3的最小值为( )
A.1 C.4
解析:B [由约束条件作出可行域如图,
B.2 D.5
,则目标函数z=
设可行域内一点(x,y),
由图可知,直线z=2x-y+3经过D点时取到最大值,经过C点时取到最小值,
??x-y+1=0
联立?
?x+y-1=0?
,解得C(0,1),
∴z的最小值为-1+3=2.]
y≤-x+2??
4.(2020·德州市一模)已知不等式组?y≤kx+1
??y≥0
的三角形,则实数k的值为( )
A.1 C.1或-2
所表示的平面区域为面积等于
9
4
B.-2 2D.-
9
y≤-x+2??
解析:A [∵不等式组?y≤kx+1
??y≥0
9
所表示的平面区域为面积等于的三角形,如图:
4
平面为三角形,且过点(2,0),
?1?∵y=kx+1,与x轴的交点为?-,0?,
?k?
y=kx+1与y=-x+2的交点为?
?1,2k+1?,
?
?k+1k+1?
1?1?2k+19
三角形的面积为:×?2+?×=,
k?k+142?解得k=1.]
x+2y≤1??
5.(2019·厦门市一模)设x,y满足约束条件?2x+y≥-1
??x-y≤0
大值是( )
1
A. 34C. 3
B.1 D.2
,则z=|x+3y|的最
x+2y≤1??
解析:D [画出x,y满足约束条件?2x+y≥-1
??x-y≤0
表示的平面区域,
??x-y=0
由?
?x+2y=1?
?11?解得B?,?,
?33?
??x+2y=1由?
?2x+y=-1???x-y=0由?
?2x+y=-1?
解得A(-1,1),
1??1
解得C?-,-?.
3??3
设目标函数为z′=x+3y,作出目标函数对应的直线,
1?4?1
直线过C?-,-?时,直线的纵截距最小,z′最小,最小值为-;当直线过A(-1,1)
3?3?3时,直线的纵截距最大,z′最大,最大值为2;∴目标函数z=|x+3y|的取值范围是[0,2],最大值为2.]
x≤2??
6.(2019·泉州市模拟)若x,y满足约束条件?x-y+1≤0
??x+2y-2≥0
值为 _____ .
,则z=x+y的最小
22
x≤2??
解析:不等式组?x-y+1≤0
??x+2y-2≥0
表示的平面区域如图所示,
则z=x+y的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方, 由图象知,OA的距离最小,
??x-y+1=0
由???x+2y-2=0
22
2
,解得A(0,1),
所以|OA|=1,
所以z=x+y的最小值为1. 答案:1
2
2
x-y+2≥0??
7.若不等式组?ax+y-2≤0
??y≥0
________ .
,表示的平面区域的面积为3,则实数a的值是
解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,区域面积
??S=×?+2?×2=3,解得a=2. 2?a?
12
答案:2
x-y+1≥0??
8.(2019·聊城市一模)设x,y满足约束条件?x-2y≤0
??x+2y≤0
值为 ________ .
x?1?y,则z=2??的最大
?16?
x-y+1≥0??
解析:画出约束条件?x-2y≤0
??x+2y≤0
表示的平面区域,如图所示;
x?1?yx-4yx-4y又z=2??=2·2=2,
?16?
设t=x-4y,
则目标函数t=x-4y过点B时,取得最大值, 由?
?x-y+1=0?
??x-2y=0
,得B(-2,-1);
=4.
∴z的最大值为2答案:4
-2-4×(-1)
x+y≥0??9.(2019·杭州市高三模拟)若实数x,y满足?x≤1
??x-2y≥0
求:(1)x的取值范围; (2)|x|+|y|的取值范围. 解:
.
2020版高考数学总复习第六章不等式、推理与证明第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时冲关
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