.
层次分析法步骤与实例
1 层次分析法的思想：将所有要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要到达的总目标，将问题分为不同的组成因素，并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较排序. 2 次分析法的步骤：
Word 资料找准各因素之间的隶属度关系建立递阶层次结构构造判断矩阵（成对比较阵）并赋值层次单排序（计算权向量）与检验（一致性检验）层次总排序（组合权向量）与检验（一致性检验）结果分析
.
3 以一个具体案例进行说明：
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出
市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。
假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。
将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。。。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。 目标层A
准则层B
准则层C
措施层D
建高速路(D1)
图1 递阶层次结构示意图
Word 资料
直接经济效益 (C1) 间接带动效益(C2) 方便日常出行(C3) 方便假日出行(C4) 减少环境污染(C5) 改善城市面貌(C6) 合理建设市政工程，使综合效益最高(A) 经济效益(B1) 社会效益(B2) 环境效益(B3) 建地铁(D2) .
2.构造判断矩阵（成对比较阵）并赋值
根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。
构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。
重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：
大多采取的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。
表1 重要性标度含义表
重要性标度 1 3 5 7 9 含 义 表示两个元素相比，具有同等重要性 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述判断的中间值 倒数 若元素I与元素j的重要性之比为aij, 则元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij
设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n，判断矩阵具有如下性质： (1) aij〉0 (2) aji=1/ aji (3) aii=1
根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写aii=1
Word 资料
.
部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：aij*ajk=aik 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则称该判断矩阵为一致性矩阵。
【案例分析】市政工程项目建设决策：构造判断矩阵并请专家填写
接前例，征求专家意见，填写后的判断矩阵如下：
表2 判断矩阵表
A B1 B2 B3 B1 C1 C2 B2 C3 C4 B1 B2 1 1/3 1/3 1 1 1
C1 C2 1 1 1
C3 C4 1 3 1
B3 C5 C6 C5 C6 1 3 1 B3 C1 D1 D2 D1 1 5 D2 1 C5 D1 D2 D1 D2
1 1/5 1 C2 D1 D2 D1 1 3 D2 1 C6 D1 D2 D1 D2 1 1/3 1 C3 D1 D2 D1 D2
1
1/5 1
C4 D1 D2 D1 D2
1
7 1
3.层次单排序（计算权向量）与检验（一致性检验）
对于专家填写后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。 层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权向量。计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等，这里简要介绍和法。
和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列
Word 资料
.
向量求取算术平均值作为最后的权重。具体的公式是：
1naij Wi=∑nnj=1a∑k=1kl需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。 在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A比C重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。
因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。
一致性检验的步骤如下。
第一步，计算一致性指标C.I.（consistency index）
C.I.??max?nn?1
第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（random index） 据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。例如，对于5阶的判断矩阵，查表得到R.I.=1.12
表3 平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果） 矩阵阶数 R.I. 矩阵阶数 R.I. 1 0 9 1.46 2 0 10 1.49 3 0.52 11 1.52 4 0.89 12 1.54 5 1.12 13 1.56 6 1.26 7 1.36 14 1.58 8 1.41 15 1.59
Word 资料
层次分析法具体应用及实例
