第20讲存在性问题
本节主要内容是存在性问题. 存在性问题有三种：
第一类是肯定性问题，其模式为“已知A,证明存在对象B,使其具有某种性质”? 第二类是否定性问题，其模式为“己知A,证明具有某种性质B的对象不可能存在”? 第三类是探索性问题，其模式为“已知A,问是否存在具有某种性质B的对象”?
解决存在性问题通常冇两种解题思路.一种思路是通过正确的逻辑推理(包括直接计算), 证明(或求出)符合条件或要求的对象B必然存在?帘利用反证法、数学归纳法、抽屉原则、计 数法等.另一种思路是构造法.宜接构造具有某种性质B的对象.常常采用排序原则、极端性 原则进行构造.
A类例题 例1已知函数f(x)=|1-^|.
⑴是否存在实数a,b(a 在，请说明理由。 (2) 若存在实数a,b(a 分析 函数Rx)是分段函数，它的值域是［0,+oo). ［3,b］是［0,+oo)的了集，而/(0)>0,所 以 a>0,因为函数心)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数，所以我们分三种惜况(i)当 a,be(0,1)lht； (ii)当 a,bw(h+8)时；伸)当日丘(0,1),bw［4,+8)时加以讨论. 解(1)不存在实数a,b(a 事实上，若存在实数a,b(a 1—，无 n 1. --- 1, X < 1. 1 (i) 当a,be(0,1)时，心)二--1在(0,1) L是减函数,所以, /⑷=b, --\\=b, a — — \\ = a. [b Mb) = a, 由此推出a=b^j已知矛盾.故此时不存在实数gb满足条件. (ii) 当日0丘(1,+8)时,/(x)=1-^(1,+oo)±为增函数,所以, /(d)二 G, f(b) = 丄-1 = a, a --l = b. lb 于是，a,b是方程x2-x+仁0的实根，而此方程无实根，故此时不存在实数满足条件. (iii) 当日丘(0,1)0丘口,+8)时,显然,ie[a,b],而f⑴=0,所以0e[a,d],矛盾.故故此时不存在 实数m,b满足条件. 综上可知，不存在实数a,b(a (2) 若存在实数a,b(a 的解答,当a,be(0,1)或日丘(0」)0丘口,+8)时,满足条件的耳0不存在. 1 只有当a,bw(h+8)时,心)二1_【在(1,+8)上为增函数,有 rz \\ ---- 1 = ITICly 八丿 即L f(b) = mb. 1 j 八 ——1 = mb. lb 于是，a,b是方程mx2—x+仁0的两个大于1的实数根.所以, A = 1 — 4m > 0, m > 0, l±y/l-4m x = ---------- >1, 1-V1 - 4m > 2m. 2 1 因此，m的収值范围是 1 只须 11 一 Am > 0, 解得 0 说明本题首先要注意题目的隐含条件a>0,因为函数的值域是[0,+oo)? 例2 已知常数少0,在矩形ABCD中，AB=4, BC=4a, O为AB的屮点，E、F、G分 BE CF DG BC ~ 别在BC、CD、DA±移动，且 P为CE与OF的交点.问是否存在两 CD ~ DA 个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求岀这两点的处标及此定值；若不存 在，请说明理由?(2003年全国高考江苏卷试题) 分析根据题设满足的条件，首先求出动点P的轨迹方程，根据轨迹是否是椭圆，就可断 定是否存在两个定点(椭圆的两个焦点)，使得P到这两点的距离的和为定值. 解按题意有 A(-2,0),B(2,0)JC(2,4a)>D( 2, 4日)?设|| 二需二器 E(2,4ak),F(2-4k, 4a),G(-2, 4a-4ak). 肓线OF的方程为2ax+(2k-1)y=0, 直线 GE 的方程为-a(2R-1)x+ y-2a=0, 由①②消去参数k得点P(x,y)坐标满足方程2aV+/- 2ay=0,
《高中竞赛教程》教案：第80讲_存在性问题(新).docx
