数学·必修1(人教A版)
．3.4 函数的综合问题
?基础达标
1．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是( )
?3?2
A．f?－?≤f(a－a＋1)
?4??3?2
B．f?－?≥f(a－a＋1)
?4??3?2
C．f?－?＝f(a－a＋1)
?4?
D．以上关系均不确定 答案：B
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：∵f(x)为R上奇函数，∴f(0)＝0. ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0. 答案：B
3．下列四个命题中，其中正确的是( ) A．f(x)＝x－2＋1－x有意义
B．函数是其定义域到值域的映射
C．函数y＝2x(x∈N)的图象是一直线
??x，x≥0，
D．函数y＝?2
??－x，x＜0
2
的图象是抛物线
答案：B
4．下列三个函数：①y＝3－x；②y＝( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B
5．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.
解析：由题意知f(3)＝－1，f(6)＝8， 又∵f(x)为奇函数，
∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f (6)－f(3)＝－15. 答案：－15
?巩固提高
6．若任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f?
12
；③y＝x＋2x－10.其中值域为R的函数有 x＋1
2
?x1＋x2?＞fx1＋fx2成立，则称
?2?2?
f(x)是[a，b]上的凸函数．试问：在下列图象中，是凸函数图象的为( )
答案：C
7．(2013·考陕卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
2
A．[15,20] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30] 答案：C
?3x＋2，x<1，?8．已知函数f(x)＝?2
??x＋ax，x≥1，
若f(f(0))＝4a，则实数a＝____.
解析：f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2. 答案：2
9．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式近似满足
??t＋20，1≤t≤24，t∈N，P＝?
??－t＋100，25≤t≤30，t∈N.
商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似满足Q＝－t＋40(1≤t≤30，t∈N)．求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．
解析：设日销售金额为y元，则y＝P·Q，所以
??－t＋20t＋800，1≤t≤24，t∈N，y＝?2
?t－140t＋4 000，25≤t≤30，t∈N，?
2
2
??－t－10＋900，1≤t≤24，t∈N，即y＝?2
?t－70－900，25≤t≤30，t∈N，?
当1≤t≤24时，t＝10，ymax＝900；当25≤t≤30时，t＝25，ymax＝1 125.
所以，该商品日销售金额的最大值为1 125元，且近30天中第25天销售金额最大．
10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数且在(－∞，0]上为增函数．
?7?(1)试比较f?－?与f(1)的大小；
?8?
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(1)＝f(－1)． 7
又f(x)在(－∞，0]上为增函数且－1<－，
8
?7??7?∴f(－1) (2)试判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 解析：设x1>x2>0，则－x1<－x2<0， ∵f(x)在(－∞，0]上为增函数， ∴f(－x1) 又f(x)是偶函数，∴f(x1) 1．函数是数学的核心内容，构造函数是应用函数知识的关键，大多数函数均可找到函数表达式． 2．函数的定义域是函数的第一要素，一般研究任何函数从研究定义域开始，最终结果也要符合定义域的要求，实际问题中定义域要根据实际情况确定． 3．大多数函数均要考察函数的单调性，非常规函数的单调性需要利用定义证明． 4．函数的图象是获取函数性质的捷径，一般做函数题在可能的情况下尽量画出函数图象． 5．注意单调性、函数值、奇偶性的图形特征和综合应用．
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的综合问题》课时训练及解析
