备战中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题附详细答案
一、反比例函数
1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求经过A、C两点的直线的解析式； （3）连接OA、OC，求△OAC的面积． 【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm， ∴A的坐标是（2，3）， 代入y= 得3= ， 解得：k=6
（2）解：OD=2+2=4， 在y= 中令x=4，解得y= ． 则C的坐标是（4， ）． 设AC的解析式是y=mx+n，
根据题意得：
，
解得：
，
则直线AC的解析式是y=﹣ x+
（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB?AB= ×2×3=3；
直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD?CD= ×4× =3． 在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S ．
则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=
【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．
= （AB+DC）?BD= （3+ ）×2=
梯形ABDC
2．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标
是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上． （1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2； （3）求△PAB的面积． 【答案】（1）解：把x=4代入y2= 入y1=
，得k=4．
x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代
反比例函数的表达式为y1=
（2）解：∵点A与点B关于原点对称， ∴A的坐标为（﹣4，﹣1）， 观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2
（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图，
∵点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP ， ∴S△PAB=2S△AOP ．
y1=
中，当x=1时，y=4，
∴P（1，4）．
设直线AP的函数关系式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
则
，
解得
．
故直线AP的函数关系式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC = = =
OC?AR+ ×3×4+ ，
OC?PS ×3×1
∴S△PAB=2S△AOP=15．
【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1= ，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP ， S△PAB=2S△AOP ． 求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP=
，则S△PAB=2S△AOP=15．
3．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0 ， 0），与y轴交于点
C．
（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标． （2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1 ， x2 ， x0之间的关系（不要求证明）．
【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= ∴y=
，
（x＞0）交于A（1，3）， ∴k=1×3=3，
∵B（3，y2）在反比例函数的图象上， ∴y2= =1， ∴B（3，1），
∵直线y=ax+b经过A、B两点，
∴ 解得
，
∴直线为y=﹣x+4， 令y=0，则x=4， ∴P（4，O）
（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H， 则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴， ∴
=
，
=
=
，
∵b=y1+1，AB=BP，
， ，
∴ =
= =
∴B（ ， y1）
∵A，B两点都是反比例函数图象上的点， ∴x1?y1= 解得x1=2，
y1 ，
?
代入 =
，解得y1=2，
∴A（2，2），B（4，1）
（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1 ， x2 ， x0之间的关系为x1+x2=x0 【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 出x1?y1=
= ， = = ，从而求得B（ ? y1 ， 求得x1=2，代入
， y1），然后根据k=xy得
= ，解得y1=2，即可求得A、B的坐
标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0 ．
4．给出如下规定：两个图形G1和G2 ， 点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
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