第一章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆
（3）直线； （4）相距为2的两点
A
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，
F 在矢量OA、OB、 OC、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、 DE、EF O B 和FA中，哪些矢量是相等的？
[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，
相等的矢量对是： 图1-1
OA和EF；OB和FA；OC和AB；OE和CD；OF和DE.
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中， KL中，NM1AC. KL与AC方向相同；在?DAC21AC. NM与AC方向相同，从而2KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝
NM.
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面
体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互
为相反矢量的矢量：
(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG; (4) AD、GF; (5) BE、CH. [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法
1.要使下列各式成立，矢量a,b应满足什么条件？ （1）a?b?a?b; （2）a?b?a?b; （3）a?b?a?b; （4）a?b?a?b; （5）a?b?a?b.
图1—3 [解]：（1）a,b所在的直线垂直时有a?b?a?b；
（2）a,b同向时有a?b?a?b;
（3）a?b,且a,b反向时有a?b?a?b; （4）a,b反向时有a?b?a?b;
（5）a,b同向，且a?b时有a?b?a?b.
§1.3 数量乘矢量
1 试解下列各题．
⑴ 化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)．
⑵ 已知a?e1?2e2?e3，b?3e1?2e2?2e3，求a?b，a?b和3a?2b．
???????3x?4y?a⑶ 从矢量方程组????，解出矢量x，y．
??2x?3y?b??????????????????解 ⑴
(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)?xa?xb?ya?yb?xa?xb?ya?yb?2xb?2ya⑵ a?b?e1?2e2?e3?3e1?2e2?2e3?4e1?e3，
a?b?e1?2e2?e3?(3e1?2e2?2e3)??2e1?4e2?3e3， 3a?2b?3(e1?2e2?e3)?2(3e1?2e2?2e3)??3e1?10e2?7e3． 2 已知四边形ABCD中，AB?a?2c，CD?5a?6b?8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．
???1?1?1???1?? 解 EF?CD?AB?(5a?6b?8c)?(a?2c)?3a?3b?5c．
2222????????????????????????????????????????????????????????? 3 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB
∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．
4 在四边形ABCD中，AB?a?2b，BC??4a?b，CD??5a?3b，证明ABCD为梯形．
证明∵AD?AB?BC?CD?(a?2b)?(?4a?b)?(5a?3b)?2(?4a?b)?2BC
??????????????????????????????????????????? ∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．
6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM,
??CN可 以构成一个三角形.
[证明]： ?AL?1(AB?AC) 21 BM?(BA?BC)
21 CN?(CA?CB)
21 ?AL?BM?CN?(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0
2 从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。
OA?OB+OC=OL+OM+ON.
7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 [证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC
?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知：AL?BM?CN?0
?OA?OB?OC?OL?OM?ON
8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
OA+OB+OC+OD＝4OM.
[证明]：因为OM＝
1(OA+OC), OM＝21(OB+OD), 2所以 2OM＝1(OA+OB+OC+OD) 2所以
图1-5
OA+OB+OC+OD＝4OM.
9 在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明
AC?AF?AH?2AG．
证明 AC?AF?AH?AC?AF?AD?DH?AC?AF?FG?CG?2AG． 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN．
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解析几何第四版课后答案
