第一章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中矢量终点各构成什么图形?
(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点;
(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点; (3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点;
(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]:(1)单位球面; (2)单位圆
(3)直线; (4)相距为2的两点
A
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心,
F 在矢量OA、OB、 OC、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、 DE、EF O B 和FA中,哪些矢量是相等的?
[解]:如图1-1,在正六边形ABCDEF中,
相等的矢量对是: 图1-1
OA和EF;OB和FA;OC和AB;OE和CD;OF和DE.
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、
DA的中点,求证:KL=NM. 当ABCD是空间四边形时,这等式是否也成立?
[证明]:如图1-2,连结AC, 则在?BAC中, KL中,NM1AC. KL与AC方向相同;在?DAC21AC. NM与AC方向相同,从而2KL=NM且KL与NM方向相同,所以KL=
NM.
4. 如图1-3,设ABCD-EFGH是一个平行六面
体,在下列各对矢量中,找出相等的矢量和互
为相反矢量的矢量:
(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG; (4) AD、GF; (5) BE、CH. [解]:相等的矢量对是(2)、(3)和(5); 互为反矢量的矢量对是(1)和(4)。
§1.2 矢量的加法
1.要使下列各式成立,矢量a,b应满足什么条件? (1)a?b?a?b; (2)a?b?a?b; (3)a?b?a?b; (4)a?b?a?b; (5)a?b?a?b.
图1—3 [解]:(1)a,b所在的直线垂直时有a?b?a?b;
(2)a,b同向时有a?b?a?b;
(3)a?b,且a,b反向时有a?b?a?b; (4)a,b反向时有a?b?a?b;
(5)a,b同向,且a?b时有a?b?a?b.
§1.3 数量乘矢量
1 试解下列各题.
⑴ 化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b).
⑵ 已知a?e1?2e2?e3,b?3e1?2e2?2e3,求a?b,a?b和3a?2b.
???????3x?4y?a⑶ 从矢量方程组????,解出矢量x,y.
??2x?3y?b??????????????????解 ⑴
(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)?xa?xb?ya?yb?xa?xb?ya?yb?2xb?2ya⑵ a?b?e1?2e2?e3?3e1?2e2?2e3?4e1?e3,
a?b?e1?2e2?e3?(3e1?2e2?2e3)??2e1?4e2?3e3, 3a?2b?3(e1?2e2?e3)?2(3e1?2e2?2e3)??3e1?10e2?7e3. 2 已知四边形ABCD中,AB?a?2c,CD?5a?6b?8c,对角线AC、BD的中点分别为E、F,求EF.
???1?1?1???1?? 解 EF?CD?AB?(5a?6b?8c)?(a?2c)?3a?3b?5c.
2222????????????????????????????????????????????????????????? 3 设AB?a?5b,BC??2a?8b,CD?3(a?b),证明:A、B、D三点共线. 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB
∴AB与BD共线,又∵B为公共点,从而A、B、D三点共线.
4 在四边形ABCD中,AB?a?2b,BC??4a?b,CD??5a?3b,证明ABCD为梯形.
证明∵AD?AB?BC?CD?(a?2b)?(?4a?b)?(5a?3b)?2(?4a?b)?2BC
??????????????????????????????????????????? ∴AD∥BC,∴ABCD为梯形.
6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点,证明:三中线矢量AL, BM,
??CN可 以构成一个三角形.
[证明]: ?AL?1(AB?AC) 21 BM?(BA?BC)
21 CN?(CA?CB)
21 ?AL?BM?CN?(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0
2 从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。
OA?OB+OC=OL+OM+ON.
7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点,O是任意一点,证明 [证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC
?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知:AL?BM?CN?0
?OA?OB?OC?OL?OM?ON
8. 如图1-5,设M是平行四边形ABCD的中心,O是任意一点,证明
OA+OB+OC+OD=4OM.
[证明]:因为OM=
1(OA+OC), OM=21(OB+OD), 2所以 2OM=1(OA+OB+OC+OD) 2所以
图1-5
OA+OB+OC+OD=4OM.
9 在平行六面体ABCDEFGH(参看第一节第4题图)中,证明
AC?AF?AH?2AG.
证明 AC?AF?AH?AC?AF?AD?DH?AC?AF?FG?CG?2AG. 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半. 证明 已知梯形ABCD,两腰中点分别为M、N,连接AN、BN.
????????????????
解析几何第四版课后答案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)