辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 利用圆锥曲线与直线相切的条件估测天体轨道
摘要
圆锥曲线是高中数学教学的重点之一，也是竞赛和高考的重点与热点，圆锥曲线与直线是否相切便是解决这些难题的基础之一。判断两条线是否相切不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用相切的特性往往能更简捷地使问题得到解决。
本文拟通过平面内圆锥曲线与直线相切的条件和三维空间内圆锥曲线与直线相切的条件，这两个方面来探讨圆锥曲线与直线相切的条件，并将此应用到天文领域，为预警小行星撞击地球提供较为可靠的方法。
关键词：圆锥曲线，相切，小行星，万有引力
一、研究背景与研究目的
2013年2月16日，小行星2012DA14近距离从地球旁边掠过，最近时刻是在北京时间凌晨3:25，距离地球仅27680公里，这一距离已经低于同步卫星的轨道。由于报告得晚，所幸未所以如何在短时间内计算出小行星是否有进入地球引力圈的可能性显得尤为重要。尽管这次地球幸免遇难，但据NASA估计每隔5年到30年就会有一颗类似的小行星光临地球。谁也不知道下一个是否会导致新的物种大灭绝。况且，在莫斯科时间2013年2月15日有一颗直径约15米，质量约7千公吨陨石坠落在俄罗斯的车里雅宾斯克州的切巴尔库尔湖，造成1500多人受伤，这更给人敲响了警钟，怎样在最短时间内获悉天体未来的运动轨迹已是重中之重。而即使多个国家已启动检测小行星和彗星的计划，但由于全球合作的缺失，这些计划仍是一盘散沙，所以发动天文爱好者观测天体成了不错的选择但又缺乏相关的知识。本文拟通过平面内圆锥曲线与直线相切的条件和三维空间内圆锥曲线与直线相切的条件，这两个方面来探讨圆锥曲线与直线相切的条件，并将此应用到天文领域，为预警小行星撞击地球提供较为可靠的方法。
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图1. 事后绘制的小行星2012DA14运行轨迹
二、研究原理与内容
近年来，对可能会对地球产生威胁的小行星的观测已成为热潮，不仅在科学家们中泛滥，很多天文爱好者也加入这一行列。由于国际间的交流并不多，很多小行星的来源都是普通的天文爱好者。但这些人发现之后又不能立即计算出小行星轨道并发现情况报告。出于对天文爱好者的考虑，本文将致力于探索一条全新的路，给予天文爱好者更加宽广的星空视野，以及更加直观地观测星系。
首先研究平面内圆锥曲线与直线相切的条件，尽量避免使用较为复杂的运算方法，并针对不同的情况采取不同的运算方法。
其次研究空间内圆锥曲线与直线相切的条件，并加入对万有引力的考虑。 最后是针对特定小行星的实际应用，将采用实际的小行星实例来验证理论。
三、研究成果
3.1平面内圆锥曲线与直线相切的条件
例1：（1）以（0，0）为圆心，半径为1的圆是否与直线y?x?2.5相切？（2）以
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0）为圆心，半径为1的圆是否与直线y?x?2相切？
图2. 初始窗r=1,y=x-√2.5
图3. 初始窗放大一次后r=1,y=x-√2.5
图4. 初始窗r=1,y=x-√2
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（0，
图5. 初始窗放大一次后r=1,y=x-√2
从比例尺较大的图片上来看，这两条直线似乎都与圆相切，但当缩小比例尺后，y=x-√2.5并不与圆相切。
但判断平面内圆是否与直线相切并不能用不停地放大——如此定量的方法，特别是当y=x-√（2+ε），这是完全无法判断出来的。我们必须采用定性的方法来解决。
3.11比较半径和直线到原点的距离
判断过（4，0），（0，-3）的直线是否与以O为圆心，半径为2.4的圆相切？
图6. 把（4，0），（0，-3）输入表格
首先把两个坐标输入统计，得到一条直线
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A C
B
图7. 过（4，0），（0，-3）的直线和r=2.4的圆
设（4，0）为A，（0，-3）为B， 过O做AB垂线，交AB于C 易得AB=5，
11S△ABC?OA?OB?AB?OC.
22所以OC=2.4=r
所以过（4，0），（0，-3）的直线与以O为圆心，半径为2.4的圆相切
至此，可以得到第一种判断平面内圆锥曲线与是否直线相切的方法：
在同一平面内，以圆的圆心为O点，建立平面直角坐标系，求出直线与x轴和y轴的交点，再以三角形面积公式求出O点到直线的距离，并把距离与圆的半径进行比较，若相同则圆与直线相切。
那么，还有没有其他的方法呢？
3.12判断点是否在圆的切线上
利用CG20在图形里作切线的功能，做出过（0，3）的两条切线 y1=0.75x-3 y2=-0.75x-3
由于（4，0）在x轴的正半轴上所以y2舍去 把x=4代入y1，得到y=0
所以过（4，0），（0，-3）的直线与以O为圆心，半径为2.4的圆相切
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