课时作业20 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
一、选择题
5
1．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于( D )
121A. 55C. 13
1B．－
55D．－
13
5sinα512
解析：因为tanα＝－，所以＝－，所以cosα＝－sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，
12cosα12555
解得sinα＝±，又α是第四象限角，所以sinα＝－. 1313
π3π?π3
，，则sin?α＋?等于( B ) 2．已知tan(α－π)＝，且α∈??22??2?44
A. 53C. 5
4B．－
53D．－
5
sinα3?＝，?π3π?34cosα4
，解析：tan(α－π)＝tanα＝，由?解得cosα＝±.又因为α∈?22?，?45
??sin2α＋cos2α＝1，π44
α＋?＝cosα＝－. 所以α为第三象限的角，所以cosα＝－，所以sin??2?55
π
3．(2020·大同质检)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( D )
2πA．－
6πC. 6
解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sinθ＝－3cosθ， ππ
∴tanθ＝3.又∵|θ|<，∴θ＝. 23
sin?α－π?＋cos?π－α?
4．设tanα＝3，则等于( B )
ππ????sin?2－α?＋cos?2＋α?A．3 C．1
B．2 D．－1 π
B．－
3πD. 3
－sinα－cosαtanα＋13＋1
解析：∵tanα＝3，∴原式＝＝＝＝2.
cosα－sinαtanα－13－1π?
5．若θ∈??2，π?，则 A．sinθ－cosθ C．±(sinθ－cosθ) 解析：因为 ＝＝
3π?
1－2sin?π＋θ?sin??2－θ?
3π?
1－2sin?π＋θ?sin??2－θ?等于( A )
B．cosθ－sinθ D．sinθ＋cosθ
1－2sinθcosθ
?sinθ－cosθ?2＝|sinθ－cosθ|，
π?
又θ∈??2，π?，所以sinθ－cosθ>0， 所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.
?α＋π?tan?2?π?5
，π，且cosα＝－，则6．(2020·佛山质检)已知α∈?等于( C ) ?2?13cos?α＋π?
12
A. 1313C. 12
π?5，π，解析：∵α∈?且cosα＝－，∴sinα＝?2?1313
＝. 12
3ππ
7．(2020·厦门质检)已知sin2α＝，<α<，则sinα－cosα的值是( A )
4421
A. 21C. 4
1B．－
21D．－
412B．－
1313D．－
12
πcosαα＋?－tan?sinα?2?121
1－cos2α＝，则＝＝
13cos?α＋π?－cosαsinα
ππ3
解析：∵<α<，∴sinα>cosα>0，∴sinα－cosα>0.又sin2α＝，∴(sinα－cosα)2＝sin2α－
42411
2sinαcosα＋cos2α＝1－sin2α＝，则sinα－cosα＝.
42
8．(2020·晋城一模)若|sinθ|＋|cosθ|＝5
A. 68C. 9
解析：将|sinθ|＋|cosθ|＝
23
，则sin4θ＋cos4θ＝( B ) 3
17B. 182D. 3
2341
两边平方，得1＋|sin2θ|＝，∴|sin2θ|＝，∴sin4θ＋cos4θ＝333
111?217
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×?＝，故选B.
22?3?18
33π5π5π
＋α?＝－5cos?＋α?，则tan?＋α?＝( A ) 9．(2020·河北邯郸联考)已知3sin??14??14??14?53
A．－ B．－ 3535C. D. 53
33π?5π
＋α＝－5cos?＋α?， 解析：由3sin??14??14?5π5π5
＋α?＝－cos?＋α?， 得sin??14?3?14?5π?5＋α＝所以tan?＝－. ?14?5π3?cos??14＋α?
1－tanα1
10．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则＝( A )
21＋tanαA．－7 C.3
B.7 D．－3
5π?sin??14＋α?
113
解析：因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－，
248又因为α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα－sinα<0，因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosαsinα7
1－－1－tanαcosαcosα－sinα23?77?－＝1－2×?8?＝，所以cosα－sinα＝－，所以＝＝＝＝
4211＋tanα1＋sinαcosα＋sinα
cosα2－7. 二、填空题
44533－π?的值是－11．sinπ·cosπ·tan?. ?3?364π?π－π?·?－π－π? π＋?·解析：原式＝sin?costan3??3??6??π?π?π
－sin?·－cos?·－tan? ＝?3??6??3??＝?－?
333??3
×－?×(－3)＝－. 42??2?
π30，?，tanα＝3，则sin2α＋2sinαcosα＝. 12．已知α∈??2?2解析：sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosα
sin2α＋cos2α
tan2α＋2tanα9＋63＝＝＝.
tan2α＋19＋12
π
x＋α?＋1，且f(8)＝2，则f(2 018)＝0. 13．(2020·豫北六校精英对抗赛)若f(x)＝cos??2?π
×2 018＋α?＋1解析：∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cosα＋1＝2，∴cosα＝1，∴f(2 018)＝cos??2?＝cos(1 009π＋α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cosα＋1＝－1＋1＝0.
14．(2020·湖北武汉调研)若tanα＝cosα，则
1
＋cos4α＝2. sinα
sinα
解析：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解
cosα5－1－5－15－1112得sinα＝或sinα＝(舍)．∴cosα＝，∴＋cos4α＝2＋(cos2α)2＝222sinαcosα5＋13－52?5－1?2
＋?＝＋＝2. ?222??5－1
三、解答题
15．已知α为第三象限角，
π?3π＋α?·α－?·sin?cos?2??2?tan?π－α?f(α)＝.
tan?－α－π?·sin?－α－π?(1)化简f(α)；
3π1
α－?＝，求f(α)的值． (2)若cos?2?5?π?3π＋α?·α－?·sin?cos?2??2?tan?π－α?
解：(1)f(α)＝
tan?－α－π?·sin?－α－π?＝
?－cosα?·sinα·?－tanα?
＝－cosα.
?－tanα?·sinα
3π111α－?＝，∴－sinα＝，从而sinα＝－. (2)∵cos?2?5?55又α为第三象限角，∴cosα＝－26
∴f(α)＝－cosα＝.
5
26
1－sin2α＝－，
5
16．(2020·辽宁沈阳联考)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明π的，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e
6π
i＋ei表示的复数的模为( C )
3
A.3＋1
2
B.3－1
2
C.6＋2
2
D.6－2
2
ππππππππππ
解析：由题意得ei＋ei＝cos＋isin＋cos＋isin＝(cos＋sin)＋i(cos＋sin)，所以
63663366666＋2ππ
其表示的复数的模为2(cos＋sin)＝，故选C.
662
17．(2020·湖北宜昌联考)已知f(α)＝( 3π
α)·cos(＋α)(α为第三象限角)．
2
1
(1)若tan(π＋α)＝，求f(α)的值；
2
42－23π
(2)若f(α)＝－sin(－α)，求tanα的值．
32解：(1)因为α为第三象限角，所以f(α)＝(3π
＋α)·cos(＋α)
2
＝(1－sinα－cosα
＋1＋sinα－cosα
)cos3α＋2cosαsinα＝－2cos2α＋2cosαsinα＝
－2cos2α＋2cosαsinα
cos2α＋sin2α
＝
1－sinα
＋1＋sinα
1＋sinαπ
)cos3(2π－α)＋2sin(
21－sinα
1－sinα
＋1＋sinα
1＋sinαπ
)·cos3(2π－α)＋2sin(＋
21－sinα
－2＋2tanα
，
1＋tan2α
11
因为tan(π＋α)＝，即tanα＝，
221－2＋2×24
所以f(α)＝＝－.
151＋??2
2(2)由(1)知f(α)＝－2cos2α＋2cosαsinα ＝
42－2
cosα， 3
22－14222
即sinα－cosα＝，两边平方得1－2sinαcosα＝1－，即sinα·(－cosα)＝－，
399可知sinα，－cosα是一元二次方程
t2－
22－122
t－＝0的两根， 39
122因为α为第三象限角，所以sinα＝－，cosα＝－，
331
－3sinα2
所以tanα＝＝＝.
cosα224
－
3
2021届高考数学一轮总复习课时作业20同角三角函数的基本关系式及诱导公式含解析苏教版
