2021高考数学一轮复习考点规范练：34基本不等式及其应用
（含解析）
基础巩固
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg(??2+)>lg x(x>0)
4
1
B.sin x+1
sin??≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x+1≥2|x|(x∈R) D.
2
1
??2+1
>1(x∈R)
答案:C
解析:因为x>0,所以x+4≥2·x·2=x,
2
11
所以lg(??2+4)≥lgx(x>0),故选项A不正确; 当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确; 由基本不等式可知选项C正确;
1
当x=0时,??2+1=1,故选项D不正确.
1
3
1
2.若正数x,y满足??+??=1,则3x+4y的最小值是( ) A.24
B.28
C.25
D.26
答案:C
解析:∵正数x,y满足??+??=1,
13
∴3x+4y=(3x+4y)(??+??)=13+??+
133??12????≥13+3×2√??·
??4????=25,
当且仅当x=2y=5时等号成立. ∴3x+4y的最小值是25.故选C.
3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
????11
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,
????11
故m+n=2(a+b)≥4√????=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).
4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a 解析:设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为??+??, 从而v=??+??=??+??. ????B.v=√???? D.v=??+??2 ??+??2 ????2??2????∵0 ??+??2????,??+??2 > 2????2??=a, ∴??+??< 2 √,即??+??<√????,∴a B.9 C.16 D.18 22 14 答案:B 解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1. 所以+ ??1 =(+)(a+b)=5++????????414??4????≥5+4=9,当且仅当= ????4????,即2a=b=时等号成立,故选B. 3 2 6.设x,y∈R,a>1,b>1,若a=b=3,a+b=2√3,则+的最大值为( ) ????xy11 A.2 B. 2 3 C.1 D. 2 1 答案:C ??+??22 解析:由a=b=3,+ ??xy11 ??= 1log??3 + 1log??3 = lg??+lg??lg3 = lg(????)lg3 .又a>1,b>1,所以ab≤()=3, 所以lg(ab)≤lg3,从而??+??≤lg3=1,当且仅当a=b=√3时等号成立. 11lg3 7.(2019河北涞水波峰中学高三模拟)已知x>0,y>0,且??+??=1,若x+y≥m+m+3恒成立,则实数m的取值范围是 . 答案:[-3,2] 41 2 解析:x+y=(x+y)·(??+??)=5+??+ 2 2 41??4????≥5+2√??× ??4????=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最 小值为9,所以m+m+3≤9,m+m-6≤0,解得-3≤m≤2,即实数m的取值范围是[-3,2]. 8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是 . 答案: 2√63 解析:∵x>1,∴logx9+log27x=lg??+3lg3≥2√3=小值为 2√63 2lg3lg??22√63 ,当且仅当x=3√6时等号成立.∴logx9+log27x的最 . 9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x+18x-25(x∈N).则当每台机器运转 2 * 年时,年平均利润最大,最大值是 万元. 答案:5 8 解析:每台机器运转x年的年平均利润为??=18-(??+??),而x>0,所以??≤18-2√25=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元. 22 10.已知正数a,b满足2a+b=3,则a√??2+1的最大值为 . ??25??答案:√2 解析:a√??2+1= 2 2 2 √22 2 ×√2??√??2+1≤ √22 ×(2a+b+1)=2 1 22 √24 ×(3+1)=√2,当且仅当√2a=√??2+1,且 2a+b=3,即a=1,b=1时,等号成立.故a√??2+1的最大值为√2. 1 11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2+8??的最小值为 . a答案:4 1 解析:因为2>0,8??>0, a1 a1a-3b所以2+8??=2+2≥2√2??·2-3??=2√2??-3??, 当且仅当a=-3,b=1时,等号成立. 因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6. 所以2+8??≥2√2-6=4,即2+8??的最小值为4. aa1111 能力提升 12.若不等式2x-axy+y≥0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是( ) 22 A.a≤2√2 B.a≥2√2 C.a≤ 3 11 D.a≤ 2 9 答案:A ??2 解析:因为2x-axy+y≥0,且y≠0,所以2()-a+1≥0.令t=,则不等式变为2t-at+1≥0. ??????13 13 22 ????2 由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈[,2],即2t-at+1≥0在t∈[,2]时恒成立. 2 由2t-at+1≥0可得a≤ 2 2??2+1 ??,即a≤2t+??. 1 又2t+≥2√2??·=2√2, ????11 当且仅当2t=??,即t=2时等号成立,所以2t+??取得最小值2√2,所以有a≤2√2,故选A. 13.已知不等式|y+4|-|y|≤2+??对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为( ) 2 x1√21 ??A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4. ∵不等式|y+4|-|y|≤2+2??对任意实数x,y都成立, ∴2+xx????2??≥f(y)max=4, x2 xx2 ∴a≥-(2)+4×2=-(2-2)+4恒成立; 令g(x)=-(2)+4×2,则a≥g(x)max=4, ∴实数a的最小值为4. x2 x
2021高考数学一轮复习考点规范练34基本不等式及其应用(含解析)
