2024高三一轮复习第20讲 平面向量及其线性运算
（第一课时）
一、知识要点
1. 向量的相关概念
⑴ 既有 _______ 又有 ______ 的量叫向量. ______________________ 的向量叫零向 量. __________________ 的向量，叫单位向量. ⑶ ____________ 且 ___________ 的向量叫相等向量. 2. 向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法?向量加法按 ____________ 法则或 __________________ 法则实行.加法满足 _______________ 律和 ___________ 律.
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法.作法是将两向量的 ________________ 重合，连结两向量 的 ________ ，方向指向 ____________________ . 3. 实数与向量的积
⑴ 实数?与向量a的积是一个向量，记作 ? a.它的长度与方向规定如下： ① 1 /..a 1 ________________ .
=
②当■ >o时，‘ a的方向与a的方向 _____________ ；
当■< o时，的方向与a的方向 当亠o时，■a _____________ . ⑵.卩日）= ____________ .
（
（..；”+□） a = _________ .
■（a + b）= ____________ .
⑶ 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 4.
的向量，那么对于这个
入使得 ___________
⑴ 平面向量基本定理：如果 °、e2是同一平面内的两个不共线
平面内的任一向量a，有且只有一对实数
■ 亠
—■
“、、2，使得 _________
,? 匸卡
d
■
—& 匸*
⑵ 设ei、e2是一组基底，a = Xiei ? yie2 , b = X2? we，贝U a与b共线的充要条件 是 ________ . 二。典型例题
题型一：平面向量的概念
例1.出下列命题：①若a=b，则a = b ； ②若A、B c、D是不共线的四点，则AB= DC 是四边形为平行四边形的充要条件；
③若a=b,b=c，则a=c;
④a = b的充要
条件是a = b且a // b ； ⑤若a // b , b // c ,贝U a // c。 其中，准确命题的序号是
练习1.判断下列命题是否准确：
①零向量没有方向；② 两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③单位向量都相等；④ 在平行四边形 ABCD中，一定有 AB二DC ；
⑤若 a=b , b=c，贝V a=c; ? 若 a // b , b // c，贝V a // c;
⑦a =b的充要条件是|5|=|丘|且a // b ?，⑧ 向量AB就是有向线段 AB ；
⑨若AB // CD，则直线AB //直线CD :⑩两相等向量若共起点，则终点也相同 练习2..判断下列命题是否准确 （1） 若 a，则 a =b.
（2） 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 （3） 若 忒DC ，贝U ABCD是平行四边形. （4） 若ABCD是平行四边形，则\
.
（5） 若 a =b,b =c，则 a = c. （6） 若 a//b,b//c，贝U a//c.
6.若倍|=3, |b|=5 , b与a的方向相反，则2= 题型二：向量的基本运算
例2.已知△ ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点.设 AB丄a ,入C =b，求BE . 变式训练1.如图所示，D是厶ABC边AB上的中点，则向量CD等于（） A. — BC + 丄 BA
2
BC — 1BA
2
--- 1 -------- C. BC —丄 BA
2
b.
A
B.
D. BC + 1BA
2
一 2 一 — 2 —
变式训练2.已知AD = AB , AE = AC，则DE等于（
）
3
1 — A.丄 CB 3
3
1 — 2 — 2 —-
B. -'—CB C. —CB D. CB
3 3 3
例3如图，梯形 ABCD 中, AB // CD 且 AB =2CD , M ,N分别是CD和AB的中
点，设AB =a
AD = b，试用a , b表示BC和MN ?
变式训练3:如图所示，OADB是以向量OA = a , OB = b为邻边的平行四边形，又BM =丄瓦,
3
1
CN = CD，试用 a、b 表示 OM , ON , MN .
3
第二课时：平面向量的坐标运算
知识要点：
1. 平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
「、 j作为基底，对于一个向量
a，有且只
有一对实数x、y，使得a = x T + y 了 .我们把（x、y）叫做向量a的直角坐标，记作 _________ .并 且 | a | =
.
2. ______________________________ 向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系. 3. 平面向量的坐标运算：
若 a = （x i、yi） , b = （x 2、y2）,入 � R,则：
a + b = ______________ a — b = _____________
-b-
入a = _____________
已知 A（xi、yi） , B（X2、y2），贝U AB = _________ .
4. 两个向量a = （xi、yi）和b = （x 2、y2）共线的充要条件是 __________ 5. 重要定理、公式的坐标表示
（1 ）向量长度（模）的坐标表示：若 a二仪“ y1），则|a H . x2 y2 .
r
y = y
2
（2） 相等向量的坐标表示：（x1, yj=（x2, y2） u丿1 标
相同的向量相等.
f
-#■
y = y2
.相等的向量坐标相同，坐
—? —?
（3） a // b x1y^ x2y^
（4
向量共线定理：若
=
a =（x「y）,
1b = （x,
2y），则
2
0.
） 两点的距离：若A（x「yj , B（X2, y2），则| AB巳扌区- xj2 ?仏- ％）2 ?
典型例题：
题型一：平面向量的坐标运算
例1?已知点A （2, 3）, B （— 1, 5），且AC =丄AB，求点C的坐标.
3
变式训练1.若 OA 二（2,8） , OB 十7,2），则 1 启= ______________________ 例 2.已知向量 a =(cos- , sin；), b = (cos-
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