专题强化训练(十五) 函数与导数
一、选择题
1．[2024·全国卷Ⅱ]若a＞b，则( ) A．ln(a－b)＞0 C．a－b＞0
3
3
B．3＜3 D．|a|＞|b|
ab解析：通解：由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)＜0，故A不正确；因为函数y＝3在R上单调递增，所以当a＞b时，3＞3，故B不正确；因为函数
xaby＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，
|a|＜|b|，故D不正确．故选C.
优解：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3＞3，|a|＜|b|，故排除A，B，D，故选C.
答案：C
2．[2024·唐山模拟]设函数f(x)＝x(e＋e)，则f(x)( ) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：通解：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e＋e)＝－x(e＋e)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝e＋e＋x(e－e)，当x>0时，e>e，所以x(e－e)>0，又e＋e
－x－xabx－xxx－xx－xx－xx－xx－xx>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.
优解：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以函数f(x)为奇函数．又f(1) 在(0，＋∞)上是增函数，故选A. 答案：A x2ex3．[2024·武昌调研]函数f(x)＝的图象大致为( ) |x| 2－xx2ex?－x?ex2e－x解析：因为f(x)＝(x≠0)，所以f(－x)＝＝，所以f(x)是非奇非偶函 |x||－x||x| x2exx2exxx数，因为x<0时，f(x)＝＝－xe>0，所以排除选项C，D.因为x>0时，f(x)＝＝xe， －xx所以f′(x)＝e＋xe＝e(x＋1)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，排除选项B.故选A. 答案：A 4．[2024·江西五校联考]函数f(x)＝是( ) xxxax＋b2的大致图象如图所示，则下列结论正确的?x＋c? A．a>0，b>0，c>0 C．a<0，b<0，c>0 B．a<0，b>0，c<0 D．a>0，b>0，c<0 解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}，从题图可知－c<0，∴c>0，排除B，D；由题图可知f(0)＝2>0，∴b>0，再排除C，故选A. 答案：A 5．[2024·洛阳统考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝( ) A．0 C．－1 B．1 D．2 bc解析：由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故选C. 答案：C 3 6．[2024·河北九校联考]函数y＝x＋＋2lnx的单调递减区间是( ) xA．(－3,1) C．(－1,3) B．(0,1) D．(0,3) 32 解析：解法一：令y′＝1－2＋<0，得－3 xx为(0,1)．故选B. 7 解法二：由题意知x>0，故排除A、C选项；又f(1)＝4 2选B. 答案：B 7．[2024·广州调研]已知实数a＝2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)，则a，b，c的大小关系是( ) A．c ln2 ln2 2 B．c 2 解析：因为0 答案：B x2＋1 8．[2024·安徽五校联考]函数y＝的图象大致为( ) 2x x2＋11 解析：因为函数y＝为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x>0时，y＝2x2 1 ＝2 1 x2＋1x2 x2＋1 1＋2，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B，D；又当x＝ x2x2 <1，所以排除选项A，故选C. 2 1时，y＝答案：C |log2x－1|，0 9．[2024·长沙四校一模]已知函数f(x)＝?x，x>4，??2 ，则使不等式 f(x) ?1??4? ?1?A.?0，? ?4??1?C.?，16? ?4? ?1?B.?，36? ?4??1?D.?，4? ?4? 1x?1?解析：f??＝|log2－1＝3，当＝3时，x＝36.又f(x)在(0,2)上是减函数，在(2，42?4? ?1??1?＋∞)上是增函数，所以使f(x) ?4??4? 答案：B 10．[2024·福州质量抽测]如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x－x－a的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是( ) 2 A．{a|－2 ??2x＋2，x≤0， 解析：根据题意可知f(x)＝? ??－x＋2，x＞0， 不等式f(x)≥x－x－a等价于a≥x22 －x－f(x)， ??x－3x－2，x≤0，2 令g(x)＝x－x－f(x)＝?2 ?x－2，x＞0? 2 可得g(x)的大致图象，如图所示， 又g(0)＝－2，g(1)＝－1，g(－1)＝2， 所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a＜－1，即a的取值范围是{a|－2≤a＜－1}．故选B. 答案：B 11．[2024·合肥质检]已知函数f(x)＝ax－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式λ＞f(x1)＋f(x2)恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A．[－3，＋∞) C．[－e，＋∞) B．(3，＋∞) D．(e，＋∞) 2 2 12ax－2x＋1 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2ax－2＋＝，由题意 xx?1?x＋x＝＞0， a知，2ax－2x＋1＝0有两个不同的正实数根，则?1xx＝??2a＞0， 2 1 2 12 Δ＝4－8a＞0， 解得0＜a＜ 1222 .f(x1)＋f(x2)＝ax1－2x1＋lnx1＋ax2－2x2＋lnx2＝a[(x1＋x2)－2x1x2]－2(x1＋x2)＋ln(x1x2)2 1?1111?1 ＝a?2－2·?－2·＋ln＝－ln(2a)－－1.令g(a)＝－ln(2a)－－1，则g′(a)＝－ 2a?a2aaa?a11?1??1??1?＋2＝?－1?＞0，所以g(a)在?0，?上单调递增，所以g(a)＜g??＝－3，即f(x1)＋f(x2) aaa?a??2??2?1 ＜－3.因为不等式λ＞f(x1)＋f(x2)恒成立，所以λ≥－3，即实数λ的取值范围是[－3，＋∞)，故选A. 答案：A 12．[2024·福建五校联考]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时， f′(x)lnx<－f(x)，则使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范围是( ) xA．(－2,0)∪(0,2) 1
高考理科数学二轮复习专题强化训练(十五)函数与导数理
