抽象函数常见题型解法综述 赵春祥
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见 题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1.已知函数f(x2)的定义域是］1 , 2］，求f (x)的定义域。
解:
2 2 2 2
f(x )的定义域是］1, 2］,是指1 x 2，所以f(x )中的x2满足1 x2 4
从而函数f (x)的定义域是］1 , 4:
评析：一般地，已知函数f ( (x))的定义域是A，求f( x )的定义域问题，相当于已知f((X)) 中x的取值范围为A，据此求(X)的值域问题。
例2.已知函数f (x)的定义域是［1, 2］，求函数fllog,? x)］的定义域。
2
解：f (x)的定义域是［1, 2］，意思是凡被
f作用的对象都在
［1, 2］中，由此可得
1 log 1 (3 x) 2
2
(1)2
3 x
(2)1
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x)］的定义域是［1,］
4
评析：这类问题的一般形式是：已知函数
f f x)的定义域是 A，求函数f( (x))的定义域。
这类问题实质上相当于已知
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
(X)的
值域B,且B A，据此求x的取值范围。例 2和例1形式上正相反。
、求值问题
1
例3.已知定义域为 R的函数f (x)，同时满足下列条件：①
f(2) 1, f(6)—;②
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f(x y) f (x) f (y)，求 f( 3)， f(9)的值。
解：取 x 2，y 3，得 f (6) f (2) f (3)
1
因为 f(2)
4 5
1，f (6) ，所以 f (3)
5
又取x y 3
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得 f(9)
f(3) f (3)
5
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取
x
2, y 3，这样便把已知条件
1
f(2) 1，f (6)-与欲求的f (3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
5
三、值域问题
例4.设函数f( x )定义于实数集上，对于任意实数 且存在x1
x、y， f (x y) f(x)f (y)总成立，
x2，使得f (x1) f (x2)，求函数f (x)的值域。
解：令 x y 0,得 f(0)
[ f (0)]2，即有 f(0)
0 或 f (0) 1。
若f(0) 0,则f (x) f (x 0) f (x) f(0) 0，对任意 x R均成立，这与存在实数
人 X2，使得f(xj f(X2)成立矛盾，故f(0) 0,必有f(0) 1。
由于f(x y) f (x) f (y)对任意x、y R均成立，因此，对任意 x R，有
F面来证明，对任意 x R, f (x) 0
f(x)
x x x x f(7 ￡) f(x)f(m [f?]2 0 2 2 2 2
x 2
2
高一数学抽象函数常见题型解法综述
