第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算
[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3
7，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积等于( )
4A．37 C．9
37 B. 29 D.
2
322(a＋c4(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为－b2)，则B＝________.
3
[解析] (1)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得a＝3，又cos B＝，4B∈(0，π)，所以sin B＝
7137，所以S△ABC＝acsin B＝. 422
37bc
法二：由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝，由正弦定理＝及b＝7，c＝4，
44sin Bsin Cπ3137可得sin C＝1，所以C＝，所以sin A＝cos B＝，所以S△ABC＝bcsin A＝.
2422
a2＋c2－b2
(2)由余弦定理得cos B＝，
2ac∴a2＋c2－b2＝2accos B. 又∵S＝
32213
(a＋c－b2)，∴acsin B＝×2accos B， 424
π
∴tan B＝3，∵B∈(0，π)，∴B＝.
3π
[答案] (1)B (2)
3[变透练清]
1.?变条件?本例(1)的条件变为：若c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝
15，则S△ABC＝________. 4
1115解析：因为sin C＝2sin A，所以c＝2a，所以a＝2，所以S△ABC＝acsin B＝×2×4×224＝15.
答案：15
c
2.?变结论?本例(2)的条件不变，则C为钝角时，的取值范围是________．
aπ2πππc
解析：∵B＝且C为钝角，∴C＝－A>，∴0 3326a31 cos A＋sin A22131 ＝＋·. sin A22tan A ∵0 ，∴>3， 3tan A 2π －A?sin??3?sin A ＝ c13c ∴>＋×3＝2，即>2. a22a答案：(2，＋∞) 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A. (1)求角C的大小； 43(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长． 3解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A， 即2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B， 1 ∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝， 2π ∵C∈(0，π)，∴C＝. 3 π11π43(2)由(1)知，C＝，故S＝absin C＝absin＝， 3223316 解得ab＝. 3 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 16 又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5. 3∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8. [解题技法] 1．求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积． (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题 [典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC3π ＝，AB⊥AD，AB＝1. 4 (1)若AC＝5，求△ABC的面积； π (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD. 6 [解] (1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即5＝1＋BC2＋2BC，解得BC＝2， 1121 所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1×2×＝. 2222ACCD (2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝， sin∠ADCsin∠CAD即 AC4＝， ① πsin θsin6 π3ππ?π －θ＝θ－， 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－?24?2?4ACAB 由正弦定理得＝， sin∠ABCsin∠BCA即 AC1 ＝，② 3ππ??sinθ－4sin?4? 3π?θ－π?sin4sin4?4? ①②两式相除，得＝， πsin θsin6即4? 22?sin θ－cos θ＝2sin θ， 2?2? 整理得sin θ＝2cos θ.
2021届高考数学考点与题型全归纳(文科)第四章 第七节 正弦定理和余弦定理(二)
