高 考 专 栏
一、曲线关于点或直线的对称 1、曲线f (x，y)＝0关于原点对第四版 第一版 故能确定x的位置用2－x代，而y不变，故y＝f(x)的图像关于直线x=1对称。
x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+83)2+
283 称的曲线方程为f (－x，－y)＝0。
其实y＝f(x+1)可由y＝f (x)的图像2、曲线f (x,y)＝0关于直线x轴向左平移1个单位而得。
的对称轴或方程为f (x，-y)＝0
3、确定点对称与轴对称 3、曲线f 例3：已知函数y＝f(x)，x∈R，且
(x,y)＝0关于对任意x值总有y轴对称的曲f(x)－f(2－x)=0，线方程为则y=f(x)的图象
f(-x,y)＝0
关于______对称。
4、曲线f (x,y)＝0关于直线x＝a分析：已知等式化为y＝f(2－x)，的对称曲线方程为f(2a－x,y)＝0
所以y=f (x) 的图像关于直线x=1对称。
5、曲线f (x,y)＝0关于直线y＝b三、对称条件的挖掘和运用 对称的曲线方程为f(x,2b－y)＝0
对一些对称问题的隐含条件应善于6、曲线f (x,y)＝0关于直线x+y+c挖掘和应用，往往起到简化解题过程之＝0对称的曲线方程为f(-y－c,-x－c)效。
＝0
例4：已知定义在(-2,2)上的偶函数7、曲线f (x,y)＝0关于直线x－f(x)，当x≥0时f(x)是减函数，如果f(1y+c＝0对称的曲线方程为f(y－c,x+c)－a) < f(a)，求a的取值范围。
＝0
分析：f(x)为偶函数，其图像关于y观察其本质，只需对原方程中x，轴对称，而x ≤0时f(x) 为减函数，故y的位置用相应的式子代即可，如关于离对称轴越近函数值越大，反之亦然，故直线x＝a对称，当且仅当2a－x代替x，由f (1－a) < f (a)可得|1－a| > | a |，结合定y不变。
义域-2<1－a<2，-2 < a < 2解得：-1 < a < 二、应用时应确定的几个问题 1/2 。
1、确定自身对称还是他对称 只要明确了点、曲线对称变换的原理例1：f(x)的定义域为R，则y＝及题型特点，熟练掌握基本方法，对高考f(x－1)与y＝f(1－x) 的图像关于中的容易题或中等题就会迎刃而解，较难______对称。
的题也能理清思路，抓住要点。 分析：注意到y＝f(x－1)可由y
＝f(1－x)中用2－x代替x，y 不变得到，所以两曲线关于直线x＝1对称。
2、确定x，y的位置 例2：设函数y＝f (x)的定义域为R，且满足f (1－x)＝f(x+1)，则函数y＝f(x+1)的图像关于___________对
称，函数y＝f(x) 的图像关于__________对称。
分析：对函数y＝f(x+1)而言，y＝f(1－x)为y＝f(x+1)中用-x代x而 得，而f(1－x)＝f(x+1)则表明y＝f(x+1)y2与y＝f(1－x)为同一个函数，故y＝例1、 已知(x+2)2
+
=1,求x2
+y2
f(x+1)的图像关于y轴对称。
4的取
对函数y＝f(x)而言，应先把f (1值范围。
－x)＝f (x+1)转化为f(2－x) ＝f(x)，
错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12，因此 ∴当x=-
8时，x2+y2有最大值
2833
即x2+y2的取值范围是(-∞,
283]。
分析： 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由
2(x+2)2
+
y≤1，∴-3
4=1得(x+2)2
=1-
y24≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1,
283]
忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
2例2、 求函数y=
x?4x?3
x2的值域。?x?6错解 将原函数变形得：
(y-1)x2
+(y-4)x-3(2y+1)=0 ① 当y=1时，①式化为 –3x=9,有解x=3; 当y≠1时，∵①式中x∈R
∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0 ，故25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R 综上：原函数值域为：y∈R
分析： 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围。
事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为： y=
(x?1)(x?3)x?1(x?2)(x?3)=
x?2
得 (y-1)x=2y+1
∴y≠1 且x=
2y?1≠-3
y?1 解得y≠1且y≠
25
∴原函数值域为：y∈(-∞,
25)∪(
25,1)
∪(1,+∞)。
大沥高中数学科组编 2003-10-8 第1期 数 学 科 组 工 作 目 标 重视思想方法教学 数学思想方法是人们对数学知识的本 一、总的指导思想 三有：在教师引导下，尽可能让学质的认识，是数学思维方法与实践方法的概 生自已有争论、有发现、有创新。 括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的 依靠集体备课，抓教学常规；学习教育理论，指导教学实践；坚持教学研3、教研目标：在教学研究中努力做过程中。数学内容始终反映着两条线，即数 究，提高教学水平；进行数学培优补差；到：“二法”、“三主” 学基础知识和数学思想方法，它们组成了生 团结向上，积极进取。二法：教学研究要研究教法、学机勃勃的知识方法体系。 法。 数学知识是数学思想方法的载体，数学 二、各级目标 三主：教学研究要以教育理论为思想方法又是数学知识的精髓，它蕴含在数 1、总目标：全组成员一致努力，三年内将大沥高中数学科组建设成为南海主导，大纲、教材为主体，考试说明为学知识的发生、发展和应用的全过程，是数 镇属高中学优秀科组乃至全南海优秀科主线。 学发展的内在动力，是知识化为能力的桥梁， 组。 4、年级目标: 是学生形成认知结构的纽带，是培养数学观 （1）高三级高考目标： 念，促成创造思维的关键。 2、教学目标： 在教学中努力做到：“三主”、“三明年高考平均分在镇属高中排名第知识要在实践中不断学习、扩充，而思 自”一。 想方法则经久闪耀着不灭的光辉。问题是仅 、“三有”。 （2）高二级目标： 仅满足于思想方法的认识是远远不够的，应 三主：教师为主导，学生为主体，训练为主线。努力争取在期末南海区的统考中排当自觉地去探索。 位在镇属高中的前两名。 在科学技术高度发展、知识经济已见端 三自：在教师引导下尽可能让学生自已提出问题、自已分析问题、自已解（3）高一级目标： 倪的今天，我们的数学教学必须适应时代的决问题。 力争使高一级数学教学质量居于镇属高需要。在平时的教学中，既要注重数学知识 中的前列。 的传授更要重视思想方法的渗透。只有两者 和谐地同步实施，才能让我们的教学充满活 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 力，才能有学生海阔天空的思维境界，才能 ----藏它数立就只问数把课堂变成他们吐才露华的幸福乐园，才能 的们发充要题 高极极学展满一是----问在学题数深易中着门数赫是康的学 斯. 从的的生科学尔无 事一终命学的曼穷扥艺的尔术领 实些----Hilbert 止力分心外的 中美或 归丽衰亡, 支---- P.R.Halmos --- 数使他们在解决问题中表现得机智灵活。 诚然，数学思想方法的学习是一个潜移 脏尔学默化的过程，是在多次领悟、反复用的基础上形成的，所以我们不可能凭借一两次课和 . . 纳定(Cantor) 更科为域学重中要, 几个例题的讲解就能使学生完全接受和掌出理. 而能问提题出. 提出问名握，也不可能依靠生硬的说教，而应当努力 来具缺大题 让数学思想方法闪现在教学过程的始终，真 , 有 乏量的正培养一代具有战略远见的高素质人才。 但这则的艺言 证样预问术 明的示题比 却特着, 解隐性: 独它答学 法 指 导
警惕“新课效应”
在数学学习中，同学常遇到这样的情况：每个新学的知识点都懂，后面的习题也会做，但到了一章学完以后，不仅综合性的题不会做，甚至连做过的习题也不会做了．其中的原因在于平时学习新课时，许多同学只是机械记住基础知识，跟着课本的思路搞懂例题的每个步骤，而每节的习题与知识点同步，因此多数题能用本节知识对号人座地解出，在不知不觉中忽视了不少重要的方面．如：公式的发现和推导过程，与前面所学知识的联系，所涉及的数学思想方法等等．严重影响了综合运用能力的提高，那么应如何克服这种现象呢？
一、学习新知识不仅要重视结论，更要重视过程 。数学上的每一个知识点都不是孤立的，从问题的提出到最后解决，要用到大量已学知识和一些重要的数学思想方法．在这个过程中可以复习已学的知识，初步认识和后面知识间的联系，在头脑中形成知识网络的雏形．
二、学习中要随时注意归纳 。通过归纳，可以使人透过现象看本质，找到知识的精华；通过归纳，可以使所学知识条理清晰，用起来得心应手；通过归纳，可以找到致错根源，避免再犯同样的错误．那么，应该如何归纳呢？
1．归纳知识中存在的规律。 2．归纳每部分知识，认识知识体系和网络。
3．归纳题型和思想方法。见多识广肯定能提高运用知识的能力．如求定义域的题很多，但真正算起来却只有含分母、偶次根式、对数、三角和反三角函数、实际问题中的函数这些主要情况．
三、波动式学习 。学习知识应像滚雪球一样不断累积。为了做到这一点，加强复习和归纳是非常有效的做法，此外，还应注意以下三点：
1.一题多解；教材上的多数习题都能
用该节知识对号入座地解出。若能再找
出一些解法，就能更多地用到以前学过的知识，达到前后联系，使新旧知识融合的目的。
2.解题时放开思路；有的同学习惯于做哪一节的习题就拿该节的知识去套，完全不考虑别的方法，这是不好的。正确的学习方法是不给自己的思维画框框，读懂题后尽可能去联想学过的所有知识，从中选出最佳解题方案。
3.适当补充一些带综合性的练习题可从课外读物中选一些较好的题来做。当然，有经验的老师也会随时补充一些好的题目。
学习数学的体会
数学是自然科学的基础，是逻辑性强，推理严密的科目。数学是千变万化的，但基本知识是死的，而解题方法又是灵活多变的。要真正学好中学数学要做好以下几件事：
１、重视教科书。这是说要重视基本原理和基本方法。这是前提，但也最容易被忽略。重视基本原理不是要你会背会默写，而是真正体会这个原理讲的是什么，反映了哪些基本量之间的什么关系，有什么用处，它与前后的其他原理又有什么关系。数学是一个体系，支离破碎地去理解它是不完全的。重视基本方法是指对基本解题技巧要烂熟于心，这样用起来才能得心应手。
２、勤于思考。我认为学数学尤其需要独立思考。用三个小时想一道题和用一个小时看十道题效果是不一样是。
第二版
自己想通的问题往往是最牢固、
最深刻的。例如在学习利用SinX的图形作出Sin(ax+b)的图象时，教课书讲了先平移后紧缩的方法。敏感的人会立即会问如果先紧缩后平移会怎样呢？这样做是可行的，但两种方法平移的幅度是不一样的。为什么会不一样？这是问题是关键。搞清了这一点，三角函数的作图也就没什么了。数学就是这样，复杂多变，差一点就不一样，但每一步都是有理有据的，只要勤于思考，抓住问题的实质，“天堑变通途”并不困难。 ３、注意积累。这并不等于题海战术。我们提倡的是“少而精”。“积累”不是积累数学题型，而是积累解题经验。题目是很多的，而经验是透过现象看本质，在解具体一道题时，是一种灵感。每做完一道有意思的题回头再看看为什么要这样做，这样的解法与已知条件有什么关系，自己开始是怎样想的，为什么走了弯路，这种回顾是很有价值的，可以培养你的数学第一感觉，日积月累，你的经验就丰富了，拿到一道题也不会
慌，怎样设变量最简单，哪里入手心里都有数。
４、这是对学数学比较出色的同学的建议：如果有时间，不妨从易到难看一些数学课外书籍，会开阔你的眼界，使你站在更高的层次，这时再去看中学数学，理解会深入许多。所谓“登高望远”也就是这个道理。
以上是个人的看法，难免有不当之处，何况学习方法应因人而异，这些仅供大家参考。
数学知识与趣味数学?
第三版
我国已故著名的数学家华罗庚出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱华罗庚的“退步”解题法的问题也就容易解决了．假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1多病，但他凭借自己一股坚强的毅力顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立和崇高的追求，终于成为一代数学宗刻回答出来，但他们都踌躇了一会，师． 这就说明，我戴的是白帽子，3人经过下面是华罗庚曾经介绍的一个有同样的思考，于是，都推出自己戴的趣的数学游戏： 是白帽子． 有位老师，想辨别他的3个学生看到这里。同学们可能会拍手称谁更聪明．他采用如下的方法：事先聪明的读者，想想看，他们是怎妙吧．后来，华罗庚还将原来的问题准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他么知道帽子颜色的呢？“ 复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分为了解决上面的问题，我们先考干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题．因解决呢？运用同样的方法，便可迎刃最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立而解．他并告诫我们：复杂的问题要子，说出自己所戴帽子的颜色．3个学刻会说自己戴的是白帽．但他踌躇了善于“退”，足够地“退”，“退”生互相看了看，都踌躇了一会，并异一会，可见我戴的是白帽． 到最原始而不失去重要性的地方，是口同声地说出自己戴的是白帽子。 这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽” 学好数学的一个诀窃． 数学家简介 提出十进小数概念及其加减运算的法 主张用逻辑推理的方式来论证数学命刘 徽则；改进了线性方程组的解法．在几 题的人． 何方面，提出了\割圆术\，即将圆周用 刘徽的一生是为数学刻苦探求刘徽（生于公元250年左右），是内接或外切正多边形穷竭的一种求圆的一生．他虽然地位低下，但人格高中中国数学史上一个非常伟大的数学面积和圆周长的方法．他利用割圆术尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学家，在世界数学史上，也占有杰出的地科学地求出了圆周率π=3.14的结而不厌的伟人，他给我们中华民族留位．他的杰作《九章算术注》和《海岛果．刘徽在割圆术中提出的\割之弥下了宝贵的财富． 算经》，是我国最宝贵的数学遗产． 细，所失弥少，割之又割以至于不可 《九章算术》约成书于东汉之初，割，则与圆合体而无所失矣\，这可视 共有246个问题的解法．在许多方面：为中国古代极限观念的佳作． 如解联立方程，分数四则运算，正负数 《海岛算经》一书中， 刘徽精心选 运算，几何图形的体积面积计算等，都编了九个测量问题，这些题目的创造 属于世界先进之列，但因解法比较原始，性、复杂性和富有代表性，都在当时 缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了为西方所瞩目。 补充证明．在这些证明中，显示了他在刘徽思想敏捷，方法灵活，既提 多方面的创造性的贡献．他是世界上最 推理又主张直观．他是我国最早明确 己句都说的或「对出形本都言『中都曾克在慌和悖数慌也话做上教「不更下式身是。说话举：『得帝徒还不」乙有上下列，以，说过里公者逻论。不，一一两例说就错』意言也慌『：特元悖辑，学』起上到是他有」，说对：趣句句句如慌是的思为有。』『岛前论学至家我来帝。一无在一来不『的话话话，者一，是尽一在所哲六。家今欧几公正有的能位所演个回对你是是是：在悖句这：悖句中有学世类还里元在石创过不说例答？下下真慌 同论话是以，十国的家纪似。这在的就困德前说趣头造路能中子！请面面话话一有。错 为悖分古克爱出悖是扰提四的的吗一人的口。有』 用要的。。张多的所，相代里皮现论著着出世？块问，什口个「讲对 纸种，因有说似《这特梅的最名数的纪上为的墨的句悖』他了么声虔是的话写变岛尼，当早的学这希自一事声诚」是。甲化这话在的其话：经话论》人特时是说家个腊是
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