中考数学压轴题大集合
一、函数与几何综合的压轴题
1.如图①，在平面直角坐标系中， AB、CD都垂直于 x轴，垂足分别为 B、D且 AD与 B 相 交
于 E 点.已知： A（-2,-6）, C（1,-3） （1） 求证： E 点在 y 轴上；
（2） 如果有一抛物线经过 A，E，C 三点，求此抛物线方程 .
（3） 如果AB位置不变，再将 DC水平向右移动 k（k>0）个单位，此时AD与BC相交于 E′
点， 如图②，求△ AE′C 的面积 S关于 k 的函数解析式 .
A 2，-6）
图②
［解］ （ 1）（本小题介绍二种方法，供
参考）
方法一：过 E 作 EO′⊥x 轴，垂足 O′∴AB∥EO′∥DC
∴
EO DO ,EO BO AB DB , CD DB 又∵ DO ′B+O′D=B
EO EO 1 AB DC
∵AB=6，DC=3，∴ EO′=2
∴
又∵
DO EO DB AB
DO
EO DB AB
∴DO ′D=O ，即 O′与 O 重合，E在 y 轴上
方法二：由 D （ 1，0）， A（-2，-6），得 DA 直线方程： y=2x-2① 再由 B（-2，0）， C（1， -3），得 BC 直线方程： y=-x-2 ②
x0
联立①②得
y2
∴E 点坐标（ 0，-2），即 E 点在 y 轴上
2）设抛物线的方程 y=ax2+bx+c（a≠0过） A（-2，-6），C（ 1，-3）
- 1 -
4a 2b c 6
E（ 0，-2）三点，得方程组 a b c 3 c2
解得 a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程 y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当 DC水平向右平移 k后，过 AD与 BC的交点 E′作E′F⊥x轴垂足为 F。 同（ 1）可得： EF EF 1 得： E′F =2
AB DC
方法一：又∵ E′F∥AB EF DF ，∴ DF
AB DB
S△AE′C= S△ADC - S△E′DC= DC?DB
2
DC ?DF 2
1
1
= DC?DB =DB=3+ k 3
11
∴S△AE′C= S△BDE′ BD?EF 3 k 2 3 k 22
∴S=3+k 为所求函数解析式 .
3 12
DC? DB 23
DB
S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥DC，∴ S△ BCA=S△BDA
证法三： S△DE′C∶S△AE′C=DE ′∶ AE′D=C∶AB=1∶2
∴S
AEC
9梯形 ABCD
S
1
2
AB CD ?BD
3k
同S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵ ∴S=3+k 为所求函数解析式
2.已知：如图，在直线坐标系中，以点 M（1，0）为圆心、直径 AC 为 2 2 的圆与 y 轴交
于 A、D 两点 . （ 1）求点 A 的坐标；
（2）设过点 A的直线 y＝x＋b与x轴交于点 B.探究：直线 AB是否⊙ M 的切线？并对你的 结论加以证明；
Sh
3）连接 BC，记△ ABC 的外接圆面积为 S1、⊙M 面积为 S2，若 S1 h，抛物线
S2 4
y＝ax2＋bx＋c经过B、M 两点，且它的顶点到 x轴的距离为 h .求这条抛物线的解析式
［解］（1）解：由已知 AM ＝ 2 ，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO＝ AM2 OM 2 1，
∴点 A 的坐标为 A（0， 1）
（2）证：∵直线 y＝x＋b过点 A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 令 y＝ 0 则 x＝－ 1
∴B（ — 1， 0），
∴y＝x＋1
- 2 -
AB ＝
BO2 AO2 12 12 2
在△ABM 中，AB＝ 2，AM＝ 2 ，BM＝2 AB2 AM 2 ( 2)2 ( 2) 2 4 BM 2 ∴△ ABM 是直角三角形，∠ BAM ＝ 90° ∴直线 AB 是⊙ M 的切线
3）解法一：由⑵得∠ BAC ＝90°， AB ＝ 2 ，AC＝2 2 ，
∴BC ＝ AB2 AC2 ( 2)2 (2 2) 2 10
∵∠ BAC ＝ 90° ∴△ ABC 的外接圆的直径为 BC，
∴
S1
BC 2 (B2C)2? AC 2 AC22)?
( 120)2 ?
而
S2
2 22
) 2)
S2 4 ，
即
2
, h 5 4
设经过点 B（—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式
为：
y＝a（＋ 1）（x－1），（a≠0）即 y＝ ax2－ a，∴－ a＝±5，∴ a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或 y＝－ 5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴ h＝5
由已知所求抛物线经过点 B（—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称
轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（ 0， ±5）
∴抛物线的解析式为 y＝a（x－ 0）2±5 又 B（－ 1,0）、M（1,0）在抛物线
上，∴ a±5＝0， a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或 y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴ h＝ 5 因为抛物线的方程为 y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）
abc0
由已知得 a b c 0 解得
a＝ －5 a5
4ac b2
4a
5
2
b 0 或 b 0 c c5 5
∴抛物线的解析式为 y＝5x－5 或 y＝
－
5x＋5.
2
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2024年中考数学压轴题大集合(含答案)
