数学导学案 班 级： 姓 名：
课题： 离散型随机变量的期望与方差 编号： 60 时间： 第 2 周 命制人： 高婷婷 离散型随机变量的期望与方差
【2014年高考会这样考】
1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】
均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．
基础梳理
1．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn ? ? P p1 p2 pi pn ? ? (1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋?＋xipi＋?＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D?X?为随机变量X的标准差．
2．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
两个防范
在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)． 三种分布
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，则
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)若X服从超几何分布，
M
则E(X)＝n. N
六条性质
(1)E(C)＝C(C为常数) (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2
(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2) (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2 (6)D(aX＋b)＝a2·D(X) 考点自测
1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．
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66 B. C.2 D．2 55解析 由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. ?－1－1?2＋?0－1?2＋?1－1?2＋?2－1?2＋?3－1?22s＝ 5
＝2. 答案 D
2．已知X的分布列为
X 0 1 －1 111P 236设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )． 7
A. B．4 C．－1 D．1 3
111
解析 E(X)＝－＋＝－，
263
27
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
33
答案 A 3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为( )． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①
又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.② 由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案 A
4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )． A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 解析 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，
??n＝8，
D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴?
??p＝0.2.
答案 A 5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出： ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量ξ的均值是________． 解析 由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案 8.2 A.
考向一 离散型随机变量的期望和方差
【例1】?A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 敦品励行 勤学致知 第 2 页 共 9页
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21 3323 A2和B2 R3A3和B3 55现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．
[审题视点] 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．
解 (1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.
2228
P(X＝3)＝××＝，
35575
22312223228
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
355355355752331231322
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
35535535551333
P(X＝0)＝××＝；
35525
根据题意X＋Y＝3，所以
828
P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，
757523
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝. 525
X的分布列为
X 0 1 2 3 32288P 2557575Y的分布列为
Y 3 2 1 0 32288P 25578758282322(2)E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝；
757552515
23
因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝.
15
(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．
(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解． 【训练1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别1111
为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． 4224(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
11
解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，. 44
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
1111115P(A)＝×＋×＋×＝. 42244416
A1和B1 敦品励行 勤学致知 第 3 页 共 9页
60.离散型随机变量的期望和方差(答案)
