3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1．虚数单位i
201－1，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数在实数集R中添加新数i，规定：(1)i＝□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 进行□2．复数的相关概念
03复数，其中i集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做□05复数集． 叫做□06复数的代数形式．其复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做□07实部与虚部． 中的a与b分别叫做复数z的□3．复数的分类
08b＝0时，它是实数；当且仅当□09a＝b＝0时，它是实数对于复数z＝a＋bi，当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数． 0；当且仅当□4．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． ＋bi与c＋di的充要条件是□
复数相等的充要条件
(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．
(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( ) (3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做
(1)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________. (2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．
(3)若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a＝________. 答案 (1)0 0 (2)0,1＋3 (3)±1
探究1 复数的有关概念 例1 给出下列四个命题： ①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数是________．
[解析] ①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；
②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件； ③若a＝0，则ai不是纯虚数；
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．
[答案] 0 拓展提升
数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．
如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x－1)＋(x＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A．① B．② C．③ D．④ 答案 D
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．
2
2
2
在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；
在③中，若x＝－1，x＋3x＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．
探究2 复数的分类
2
m2＋m－62
例2 当实数m为何值时，复数z＝＋(m－2m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯
m虚数？
?m－2m＝0，?
[解] (1)当?
??m≠0，
2
2
即m＝2时，复数z是实数；
(2)当m－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
m＋m－6??＝0，m(3)当???m2－2m≠0，
2
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
m2＋m－6[条件探究] 是否存在实数m，使z＝(m－2m)＋i是纯虚数？
m2
m2＋m－6
[解] 由z＝(m－2m)＋i是纯虚数，
m2
m－2m＝0，??2
得?m＋m－6
≠0，??m2
解得m∈?.
m2＋m－6
即不存在实数m，使z＝(m－2m)＋i是纯虚数．
m2
拓展提升
利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤
(1)判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m∈R，复数z＝(1)z为实数？ (2)z为虚数？ (3)z为纯虚数？
mm＋m－1
＋(m＋2m－3)i，当m为何值时，
2
高中数学3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义新人教A版选修2 - 2
