?33?cos?QPM??，?，进而求出结果.
?123?【详解】
取BC的中点M，连接MQ，则AC//MQ，所以?QPM为异面直线PQ与AC所成角，如下图所示：
设正四面体A?BCD的棱长为4，BQ?x，?0?x?4?，
在?BMQ中，MQ?BM?BQ?2BM?BQcos60??4?x?2x， 在正四面体A?BCD中，易知PQ?MQ， 所以在等腰三角形PMQ中，cos?QPM?222214?x?2x2，?0?x?4?
?33?5?，?，. 所以cos?QPM??所以异面直线PQ与AC所成角可能为12312??故选：C. 【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
14．以下说法正确的有几个（ ）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； A．0个 【答案】B 【解析】 【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数. 【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公
B．1个
C．2个
D．3个
理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B. 【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.
15．等腰三角形ABC的腰AB?AC?5，BC?6，将它沿高AD翻折，使二面角
B?AD?C成60?，此时四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．7? 【答案】D 【解析】 分析：
详解：由题意，设?BCD所在的小圆为O1，半径为r，
又因为二面角B?AD?C为600，即?BDC?600，所以?BCD为边长为3的等边三角形，
B．28?
C．1919? 6D．287? 33?23，即BE?23， 0sin60设球的半径为R，且AD?4，
又正弦定理可得，2r?在直角?ADE中，?2R??AD2?DE2?4R?42?(23)2?28， 所以R?244287?，故选D． 7，所以球的体积为V??R3???(7)3?333
点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.
16．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG?2GN，用向量OA，OB，OC表示向量OG是（ ）
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv2uuuv2uuuvA．OG?OA?OB?OC
33uuuv1uuuv2uuuv2uuuvB．OG?OA?OB?OC
233uuuv1uuuv1uuuv1uuuvC．OG?OA?OB?OC
633【答案】C 【解析】 【分析】
示，就可以得到结论． 【详解】
uuuv1uuuv1uuuv2uuuvD．OG?OA?OB?OC
633根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表
uuuruuuuruuuuruuuur2uuuurQOG?OM?MG?OM?MN ,
3uuuur2uuuuruuuruuurr2uuur1uuuruuurr1uuur1uuur1uuuu1uuu?OM?MO?OC?CN?OM?OC?OB?OC?OA?OB?OC
3333633uuur1uuur1uuur1uuur?OG?OA?OB?OC ,
633故选：C． 【点睛】
????本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
17．设?,?是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，且l??，m??，则（ ） A．若?//?，则l//m C．若m??，则??? 【答案】C 【解析】 【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】
A. 若?//?，则l与m可能平行，可能异面，所以A不正确. B. 若m//a，则?与?可能平行，可能相交，所以B不正确.
C. 若m??，由m??，根据面面垂直的判定定理可得???，所以C正确. D若???，且l??，m??，则l与m可能平行，可能异面，可能相交, 所以D不正确.
B．若m//a，则?//? D．若???，则l//m
【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.
18．已知?,?是不同的两个平面，直线a??，直线b??，条件p:a与b没有公共点，条件q:?//?，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】B 【解析】
∵a与b没有公共点时，a与b所在的平面?可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）
∴命题p：a与b没有公共点?命题q：?∥?，为假命题 又∵?∥?时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点 ∴命题q：?∥??命题p：a与b没有公共点，为真命题； 故p是q的必要不充分条件 故选B
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
19．已知直三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为( ) A．15 3B．5 3C．6 4D．10 4【答案】D 【解析】 【分析】
取AC的中点N，连接C1N，则AM//C1N,所以异面直线AM与BC1所成角就是直线
AM与C1N所成角，在?BNC1中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取AC的中点N，连接C1N，则AM//C1N, 所以异面直线AM与BC1所成角就是直线AM与C1N所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则C1N?5,BC1?22,BN?3， 设直线AM与C1N所成角为?，
(5)2?(22)2?(3)210在?BNC1中，由余弦定理可得cos??， ?42?5?22即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为10，故选D． 4
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ） A．6π 【答案】B 【解析】 【分析】
先作出几何图形，确定四个直角和边长，再找到外接球的球心和半径，再计算外接球的表面积. 【详解】
由题得几何体原图如图所示，
B．12π
C．32π
D．48π
其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2, 所以AC=22,SC?23,
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案解析
