11O(,,1),D1(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1) 22uuuur11?OD1?(?,?,0)
22由于AB?平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1
?AB?A1D，又AD1?A1D，ABIAD1
?A1D?平面ABC1D1
uuuur故平面ABC1D1的一个法向量为：DA,0,1) 1?(11uuuuruuuur|OD1?DA1|2 uuuurd??2?4|DA1|2故选：B 【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
?O到平面ABC1D1的距离为：
?7．三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，?BAA1??CAA1?60，则异
面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A．3 3B．
6 6C．3 4D．
3 6【答案】B 【解析】 【分析】
uuuvuuuuuuvvuuuuvvvuuuvv设AA1?c，AB?a，AC?b，根据向量线性运算法则可表示出AB1和BC1；分别求解
uvuuuvuuuuvuuuvuuuuuuvuuuuv出AB1?BC1和AB1，BC1，根据向量夹角的求解方法求得cos?AB1,BC1?，即可得所
求角的余弦值. 【详解】
uuuvvuuuvvuuuvv设棱长为1，AA，，?cAB?aAC?b 1vv1vv1vv1由题意得：a?b?，b?c?，a?c?
222uuuvvvuuuuvuuuvuuuvvvvQAB1?a?c，BC1?BC?BB1?b?a?c
uuuvuuuuvvvvvvvvv2vvvvvvv211?AB1?BC1??a?c??b?a?c?a?b?a?a?c?b?c?a?c?c??1??1?1
22uuuvvv2vvvv又AB1??a?c??a2?2a?c?c2?3
??vvvvvvvvv?b2?a2?c2?2a?b?2b?c?2a?c?2 uuuvuuuuvuuuvuuuuvAB1?BC116?cos?AB1,BC1??uuuv?uuuuv?
66AB1?BC1uuuuvBC1??vvvb?a?c?2即异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为：本题正确选项：B 【点睛】
6 6本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
8．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M， N分别为棱C1D1,CC1的中点，以下四个结论：①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A．1 【答案】C 【解析】 【分析】
B．2 C．3 D．4
根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面. 【详解】
①：CC1与DM是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM、BN平行，又AD、BC平行且AM?AD?A,BN?BC?B，所以平面
BNCP平面ADM，明显不正确，故错误；
③：BN、MB1不共面，所以是异面直线，故正确； ④：AM、DD1不共面，所以是异面直线，故正确； 故选C. 【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
9．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，AB?BC?BD?4，E、F分别为棱BC、AD的中点，则直线EF与平面ACD所成角的余弦值（ ） A．
1 3B．3 3C．
22 3D．6 3【答案】C 【解析】 【分析】
因为AB，BC，BD两两垂直，以BA为X轴，以BD为Y轴，以BC为Z轴建立空间直
uuurruuurrruuurEF?nrr，即可角坐标系，求出向量EF与平面ACD的法向量n，再根据cos?EF,n??uuu|EF||n|得出答案. 【详解】
因为在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，
以BA为X轴，以BD为Y轴，以BC为Z轴建立空间直角坐标系， 又因为AB?BC?BD?4；
A?4,0,0?,B(0,0,0),D(0,4,0),C(0,0,4) ，又因为E、F分别为棱BC、AD的中点
所以E(0,0,2),F(2,2,0)
uuuruuuruuurEF?2,2,?2 故??，AD?(?4,4,0)，AC?(?4,0,4).
vvuuu?rn?AD?0v 设平面ACD的法向量为n?(x,y,z) ，则?vuuu?n?AC?0令x?1, 则y?z?1；
所以n?(1,1,1)
ruuurruuurrEF?n21rr?cos?EF,n??uuu? |EF||n|3?233设直线EF与平面ACD所成角为? ，则sin?? cos?EF,n? 所以cos??1?sin2??故选：C 【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.
uuurr22 3
10．三棱锥D?ABC中，CD?底面ABC,?ABC为正三角形，若
AE//CD,AB?CD?AE?2，则三棱锥D?ABC与三棱锥E?ABC的公共部分构成的
几何体的体积为（ ） A．
3 9B．3 3C．
1 3D．3 【答案】B 【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D?ABC与三棱锥E?ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F?ABC ∵ABC为正三角形，AB?2 ∴S?ABC?13?2?2??3 22∵CD?底面ABC，AE//CD，CD?AE?2 ∴四边形AEDC为矩形，则F为EC与AD的中点 ∴三棱锥F?ABC的高为
1CD?1 213 ?3?1?33∴三棱锥F?ABC的体积为V?故选B.
11．已知平面?，?和直线l1，l2，且αIβ?l2，则“l1Pl2”是“l1∥?且l1∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
D．既不充分也不必要条件
将“l1Pl2”与“l1∥?且l1∥β”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】
当“l1Pl2”时，l1可能在?或?内，不能推出“l1∥?且l1∥β”.当“l1∥?且l1∥β”时，由于αIβ?l2，故“l1Pl2”.所以“l1Pl2”是“l1∥?且l1∥β”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
12．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A．若，与所成的角相等，则B．若C．若D．若【答案】C 【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则若
，，则
，则
或
，B错. 若
或，相交或，异面；A错. ，
，则
正确. D．若
，
，，，
，则，则，则
，相交或，异面，D错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
13．在正四面体A?BCD中，P是AB的中点，Q是直线BD上的动点，则直线PQ与
AC所成角可能为（ ）
A．
?12 B．
? 4C．
5? 12D．
? 2【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，取BC的中点M，连接MQ，则AC//MQ，所以?QPM为异面直线PQ与
AC所成角，在利用余弦定理可得MQ?4?x2?2x，易知PQ?MQ，所以在等腰三
角形PMQ中cos?QPM?14?x?2x2，?0?x?4?，即可求出
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案解析
