新数学《空间向量与立体几何》试卷含答案
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．
64? 3B．16??83? 3C．28?
D．16??82? 3【答案】B 【解析】 【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积V??r2?h??r2?l??22?4?【点睛】
13183??22?23?16???，故选B． 33本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
AB2．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3,AA1?1,而对角线1上存
在一点P，使得AP?D1P取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 【答案】A 【解析】 【分析】
B．3 C．1+3 D．2
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1并求出，就 是最小值． 【详解】
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1．MD1就是|AP|?|D1P|的最小值，
Q|AB|?|AD|?3，|AA1|?1，?tan?AA1B?3?3,??AA1B?600．
1ooo所以?MA1D1=90+60=150
?MD1?A1D12?A1M2?2A1D1?A1Mcos?MA1D1?1?3?2?2?3?(?3)?7 2
故选A． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
3．在以下命题中：
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
rrrrrr②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
rrrruuuruuuruuuuruuuur③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP?2OA?2OB?2OC，则P，
A，B，C四点共面
rrrrrrrr④若a，b是两个不共线的向量，且c??a??b(?,??R,?,??0)，则{a,b,c}构成空
间的一个基底
rrrrrrrrr⑤若a,b,c为空间的一个基底，则a?b,b?c,c?a构成空间的另一个基底；
????其中真命题的个数是（ ） A．0 【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
B．1
C．2
D．3
rrrrr①由空间基底的定义知，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，rc共面，故①正确；
rr②由空间基底的定义知，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基
rr底，则a，b共线，故②正确；
③由2?2?2??2?1，根据共面向量定理知P,A,B,C四点不共面，故③错误；
rrrrrrrrr④由c??a??b，当????1时，向量c与向量a，b构成的平面共面，则a,b,c不
??能构成空间的一个基底，故④错误；
rrrrrr⑤利用反证法：若a?b,b?c,c?a不构成空间的一个基底， rrrrrrrrrrrr设a?b?xb?c??1?x?c?a，整理得c?xa??1?x?b，即a,b,c共面，又因rrrrrrrrra,b,c为空间的一个基底，所以a?b,b?c,c?a能构成空间的一个基底，故⑤正确.
??????????综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
4．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A．若m∥β，则m∥l C．若m⊥β，则m⊥l 【答案】D 【解析】 【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.
B．若m∥l，则m∥β D．若m⊥l，则m⊥β
【详解】
A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A．3 【答案】B 【解析】 【分析】
B．5 C．6 D．12
首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积?1?3?1?1，
13中间棱柱的体积V?1?3?1?2?3 , 2所以该刍甍的体积是1?2?3?5. 故选：B 【点睛】
本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.
6．如图，棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是（ ）
A．
1 2B．
2 4C．
2 2D．3 2【答案】B 【解析】 【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明A1D?平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量
uuuur为：DA1，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案解析
