同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何

第五篇 向量代数与空间解析几何

第八章 向量代数与空间解析几何

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中

来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.

本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.

第1节 空间直角坐标系

空间直角坐标系

用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.

空间直角坐标系

过定点O，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以O为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z轴，当右手的四指从x轴的正向转过

?角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间2直角坐标系（图8-1），称为Oxyz直角坐标系，点O叫做坐标原点.

z O y

x

图8-1

在Oxyz直角坐标系下，数轴Ox,Oy,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy，yOz，zOx，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.

图8-2

空间点的直角坐标

设M为空间中的任一点，过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x轴、y轴和z轴依次交于A、B、C三点，若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，于是点M就唯一确定了一个有序数组(x, y, z)，则称该数组(x, y, z)为点M在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，如图8-3．x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．

z C z M(x,y,z) x

O y B y

A x 图8-3

反之，若任意给定一个有序数组(x, y, z)，在x轴、y轴、z轴上分别取坐标为x，y，

z的三个点A、B、C，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一

个交点M，该点就是以有序数组(x, y, z)为坐标的点，因此空间中的点M就与有序数组

(x, y, z)之间建立了一一对应的关系．

注：A、B、C这三点正好是过M点作三个坐标轴的垂线的垂足．

空间中两点之间的距离

设两点M(x1, y1, z1)，N(x2, y2, z2)，则M与N之间的距离为

d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 （8-1-1）

事实上，过点M和N作垂直于xOy平面的直线，分别交xOy平面于点M1和N1，则

MM1 ∥NN1，显然，点M1的坐标为(x1, y1, 0)，点N1的坐标为(x2, y2, 0)（如图8-4）．

R2 N M R1 O N2 Q1 M1 N1 P1 Q2 y P2 x 图8-4

由平面解析几何的两点间距离公式知，M1和N1的距离为：

|M1N1|?(x2?x1)2?(y2?y1)2．

过点M作平行于xOy平面的平面，交直线NN1于N2，则M1N1∥MN2，因此N2的坐标为(x2, y2, z1)，且

|MN2|?|M1N1|?(x2?x1)2?(y2?y1)2，

在直角三角形MN2N中，

|N2N|?|z2?z1|，

所以点M与N间的距离为

d?|MN2|2?|N2N|2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2．

例1 设A(?1, 2, 0)与B(?1, 0, ?2)为空间两点，求A与B两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A与B两点间的距离为

d?[?1?(?1)]2?(0?2)2?(?2?0)2?22．

例2 在z轴上求与点A(3, 5, ?2)和B(?4, 1, 5)等距的点M．

解 由于所求的点M在z轴上，因而M点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于

MA?MB，

由公式（8-1-1），得

32?52?(?2?z)2?(?4)2?12?(5?z)2．

从而解得z?22，即所求的点为M(0, 0, )．

77习题8-1

1．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：

A(2, 0, 0)；B(0, ?3, 0)；C(3, 0, 1)；D(3, 2, ?1)． 4．求点(?1, 2, 3)关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) A(0, ?1, 3)与B(2, 1, 4)；

(2) C(?1, 4, 2)与D(2, 7, 3)．

7．在坐标平面yOz上求与三点A(3, 1, 2)、B(4, ?2, ?2)和C(0, 5, 1)等距的点． 8．求点A(12, ?3, 4)与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．

9. 证明以A?4,3,1?,B?7,1,2?,C?5,2,3?为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形.

第2节 空间向量的代数运算

空间向量的概念

在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．

在数学上，我们用有向线段AB来表示向量，A称为向量的起点，B称为向量的终点，