＞0，
（x＋1）（7－x）??x－1
＞0，(2) 由题意可得? x＋1
mx－1?＝?（x＋1）（7－x）x＋1.
问题转化为求函数m＝(x－1)(7－x)在x∈[2，6]上的值域，该函数在[2，4]上单调递
增，在[4，6]上单调递减，
所以当x＝2或6时，m取最小值5；当x＝4时，m取最大值9. 所以m的取值范围是[5，9]．
1. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是________． 答案：(4，＋∞)
222
解析：函数y＝x－2x－8＝(x－1)－9图象的对称轴为直线x＝1，由x－2x－8＞0解
2
得x＞4或x＜－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x－2x－8的一个单调增区间．根据复合函数
2
的单调性可知，函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调增区间为(4，＋∞)．
2
2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x＋a)，若f(3)＝1，则a＝________． 答案：－7
1
3. (2018·天津卷) 已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，则a，b，c的大小关系为
32
________．
答案：c>a>b
11
解析：根据换底公式可得：a＝log2e＝＝，而b＝ln 2＜ln e＝1，故a＞1＞b，
ln 2b同时，c＝log23＞log2e＝a，所以c＞a＞b.
x4. (2017·山东卷)若函数ef(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为________．(填序号)
－x－x3
① f(x)＝2；② f(x)＝3；③ f(x)＝x；
2
④ f(x)＝x＋2. 答案：①④
exxx－x解析：令g(x)＝ef(x)．对于①，f(x)的定义域为R，g(x)＝e2＝()在R上单调递
2
exx－x增，具有M性质；对于②，f(x)的定义域为R，g(x)＝e3＝()在R上单调递减，不具有
3
M性质；对于③，f(x)的定义域为R，g(x)＝exx3，g′(x)＝exx3＋3x2ex＝ex(x3＋3x2)>0在R上不恒成立，所以g(x)在R上不单调递增，不具有M性质；对于④，f(x)的定义域为R，g(x)x2x2xx2
＝e(x＋2)，g′(x)＝e(x＋2)＋2xe＝e(x＋2x＋2)>0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递增，具有M性质．故填①④.
xx2
5. (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝e(e－a)－ax. (1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若f(x)≥0，求a的取值范围． 解：(1) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
2x① 若a＝0，则f(x)＝e，在(－∞，＋∞)上单调递增． ② 若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
2
m③ 若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln(－)．
2
6
a当x∈(－∞，ln(－))时，f′(x)＜0；当x∈(ln(－)，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)
22在(－∞，ln(－))上单调递减，在(ln(－)，＋∞)上单调递增．
22
综上，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在?－∞，ln?－??上单调递减，
??2??在?ln?－?，＋∞?上单调递增．
??2??
2x(2) ① 若a＝0，则f(x)＝e，所以f(x)≥0.
2
② 若a＞0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－aln a．从而当且仅当－a2ln a≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0.
aa23
③ 若a＜0，则由(1)得当x＝ln(－)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(－))＝a[
224
3
aa23
－ln(－)]．从而当且仅当a[－ln(－)]≥0，即a≥－2e4时，f(x)≥0.
242
3
综上，a的取值范围是[－2e4，1]．
(本题模拟高考评分标准，满分14分)
x(2018·锡山中学)已知函数f(x)＝b·a(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1) 求函数f(x)的解析式；
1x1x(2) 若不等式()＋()－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
aaaa?
?a??
??a?
?
abx解：(1) 因为f(x)＝b·a的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
??b·a＝6 ①，
所以?
??b·a＝24 ②，
23
(3分)
②÷①得a＝4，又a>0，且a≠1，
x所以a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2. (7分)
1x1x1x1x(2) ()＋()－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤()＋()在(－∞，1]上恒成
ab23
立． (9分)
1x1x令g(x)＝()＋()，g(x)在(－∞，1]上单调递减，
23
115
所以m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝， (12分)
236
5??故所求实数m的取值范围是?－∞，?. (14分) 6??
1. 当0 答案：h(x)>g(x)>f(x) 解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)． 1.1 0.9 －2 7 2. (2018·江阴中学月考)设函数y＝log2(ax－2x＋2)的定义域为A. (1) 若A＝R，求实数a的取值范围； 2 (2) 若log2(ax－2x＋2)>2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围． 2 解：(1)因为A＝R，所以ax－2x＋2>0在x∈R上恒成立. ① 当a＝0时，由－2x＋2>0，得x<1，不成立，舍去， ?a>0，?1 ② 当a≠0时，由?得a>， 2??Δ＝4－8a<0， ?1?综上所述，实数a的取值范围是?，＋∞?. ?2? 2 (2)依题意有ax－2x＋2>4在x∈[1，2]上恒成立， 2x＋211 所以a>2＝2(＋2)在x∈[1，2]上恒成立. 2 xxx1?1?令t＝，则由x∈[1，2]，得t∈?，1?. x?2? ?1?22 记g(t)＝t＋t，由于g(t)＝t＋t在t∈?，1?上单调递增，所以g(t)≤g(1)＝2, ?2? 因此a>4，所以实数a的取值范围是(4，＋∞)． 1 3. 已知a∈R，函数f(x)＝log2(＋a)． x(1) 当a＝5时，解不等式f(x)＞0； (2) 若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围． 1 解：(1) 当a＝5时，f(x)＝log2(＋5)， x1 由f(x)＞0，得log2(＋5)＞0， x11即＋5＞1，即x＞0或x＜－， x4 ?1?即不等式的解集为?x|x＞0或x＜－?. 4?? (2) 由f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0，得 1 log2(＋a)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0， x1 即log2(＋a)＝log2[(a－4)x＋2a－5]， x1 即＋a＝(a－4)x＋2a－5＞0 ①， x2 则(a－4)x＋(a－5)x－1＝0， 即(x＋1)[(a－4)x－1]＝0 ②， 当a＝4时，方程②的解为x＝－1，代入①，成立； 当a＝3时，方程②的解为x＝－1，代入①，成立； 当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝－1或x＝ 1 ， a－4 8 1 若x＝－1是方程①的解，则＋a＝a－1＞0，即a＞1； x11 是方程①的解，则＋a＝2a－4＞0， a－4x即a＞2. 则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2. 综上，若方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是{a|1 若x＝ 9
2019届高考数学二轮复习专题一函数第2讲基本初等函数学案
