x节 函数及其表示
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考 1.了解构成函数的要素，了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.考查方式多为选择题或填空题． 2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如x年新课标全国T10等． 3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如x年xT3等.
[归纳·知识整合]
1．函数与映射的概念 两集合A，B 对应关系f：A→B 函数 A，B是两个非空数集 按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有映射 A，B是两个非空集合 按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都唯一确定的数f(x)和它对应 名称 记法 [探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么？
f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)，x∈A 有唯一确定的元素y与之对应 对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．
2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？
提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sin x与y＝cos x，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．
4．函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 5．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有( ) ①函数是定义域到值域的对应关系； ②函数f(x)＝x－4＋1－x；
③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；
④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； ⑤f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数． A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
??x－4≥0，
解析：选B 由函数的定义知①正确；②错误；由?得定义域为?，所以不
?1－x≥0，?
是函数；因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.
2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的有( )
①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应．
②集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
③集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
④集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．
?x2＋1，x≤1，?
3．(x·x高考)若函数f(x)＝?则f(f(10))＝( )
?lg x，x>1，?
A．lg 101 C．1
B．2 D．0
解析：选B f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝x＋1＝2. 4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝________.
x＋24＋2
解析：∵f(x)＝，∴f(4)＝＝－3.
x－64－6
x＋2
，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝x－6
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)函数、导数及其应用
