第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
[基础题组练]
2x＋3y≤12，??
1．二元一次不等式组?2x＋3y≥－6，所表示的平面区域的面积为( )
??0≤x≤6A．18 C．36
B．24 D．1213
解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，
四边形ABCD是平行四边形，由图中数据可知其面积S＝(4＋2)×6＝36.
2x＋y≥0，
??x＋2y－2≥0，
2．设变量x，y满足约束条件?则目标函数z＝x＋y的最大值为( )
x≤0，??y≤3，2
A. 33C. 2
B．1 D．3
解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax＝0＋3＝3，选项D符合．
3．(2024·浙江名校联盟联考)已知实数x，y??（x－y）（x＋2y）≥0满足?，则2x－
?x≥1?
y( )
A．有最小值，无最大值 C．有最小值，也有最大值
1
B．有最大值，无最小值 D．无最小值，也无最大值
解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设2x－y＝z，则y＝2x－z，z表示直线在y轴上的截距的相反数．
平移直线y＝2x－z，可得当直线过点A时z取得最小值，z没有最大值．故选A.
x＋y≤2，??
4．(2024·台州高三质检)已知不等式组?x≥0，表示的平面区域的面积为2，则
??y≥mx＋y＋2
的最小值为( ) x＋1
3
A. 2C．2
4B. 3D．4
解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分)，由区域面积为2，可得m＝0.而
x＋y＋2y＋1y＋1
＝1＋，表示可行域内任意一点与点(－x＋1x＋1x＋1
y＋10－（－1）1x＋y＋2
的最小值为＝，所以x＋12－（－1）3x＋1
1，－1)连线的斜率，所以4
的最小值为.
3
x＋y≤a，??
5．(2024·金华十校联考)设变量x，y满足约束条件?x＋y≥8，且不等式x＋2y≤14
??x≥6
恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[8，10] C．[6，9]
B．[8，9] D．[6，10]
解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故选A.
2
6．(2024·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则
2A. 51C. 6
yx－a的最大值是( )
2B. 31D. 4
11
解析：选A.易知a≠0，那么目标函数可化为y＝－x＋z.要使目标函数z＝x＋ay取
aa1yy得最小值的最优解有无数个，则－＝kAC＝1，则a＝－1，故＝，其几何意义为可
ax－ax＋1行域内的点(x，y)与点M(－1，0)的连线的斜率，可知?
?y?＝k＝2，故选A.
?MC5?x＋1?max
x≥0，??
7．若x，y满足约束条件?x＋3y≥4，则z＝－x＋y的最小值是________．
??3x＋y≤4
x≥0，??
解析：作出不等式组?x＋3y≥4，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中
??3x＋y≤4A(1，1)，B?0，?，C(0，4)．
3
??
4?
?
经过点A时，目标函数z达到最小值． 所以zmin＝－1＋1＝0. 答案：0
8．(2024·杭州中学高三期中)已知点A(3，3)，O为坐标原点，点P(x，y)满足
3
?3x－y≤0
→
OP在OA方向上?x－3y＋2≥0，则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为________，→
?y≥0
投影的最大值为________．
?3x－y＝0
解析：由已知得到平面区域如图，P所在区域即为阴影部分，由?得到C(－
?x－3y＋2＝0
1
2，0)，B(1，3)，所以其面积为×2×3＝3.
2
→→
OA·OP3x＋3y31→→
令OP在OA方向上投影为z＝＝＝x＋y，所以y＝－3x＋2z，过点B→2223|OA|时z最大，
33→→
所以，OP在OA方向上投影的最大值为＋＝3.
22答案：3
3
x＋4y≥4，??
9．给定区域D：?x＋y≤4，令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y??x≥0，
在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．
作出z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0.经平移可知目标函数
z＝x＋y在点
A(0，1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值，而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T中的点共确定6条不同的直线．
答案：6
4
x≥0??x?1?10．(2024·温州市高考实战模拟)若变量x，y满足约束条件?y≥0，则z＝2·?2?
????3x＋4y≤12y的最大值为________． 解析：作出不等式组
x≥0??
表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z＝?y≥0
??3x＋4y≤12
?1?x－y2·??＝2，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4，0)处u取得最大值，此时z取得最大
?2?
xy值且zmax＝2
4－0
＝16.
答案：16
x＋y≥0??
11．(2024·杭州市高三模拟)若实数x，y满足?x≤1.
??x－2y≥0
求：(1)x的取值范围； (2)|x|＋|y|的取值范围．
x＋y≥0??
解：(1)由约束条件?x≤1作出可行域如图中阴影部分所示，
??x－2y≥0
由图可知，0≤x≤1. (2)当x≥0，y≥0时，
z＝|x|＋|y|＝x＋y过(1，)时有最大值为，
过O(0，0)时有最小值0； 当x≥0，y≤0时，
1
232
z＝|x|＋|y|＝x－y过(1，－1)时有最大值为2，
过O(0，0)时有最小值0.
所以|x|＋|y|的取值范围是[0，2]．
x＋y≥1，??
12．若x，y满足约束条件?x－y≥－1，
??2x－y≤2.
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新高考数学一轮复习第七章不等式3第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题高效演练分层突破
