因式分解
知识网络详解：
因式分解的基本方法：
1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。 2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：
平方差公式 a2?b2??a?b??a?b?； 完全平方公式 a?2ab?b??a?b?；
222 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。 4、十字相乘法——x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b) 2【课前回顾】
1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
（A）2?a?b??2a?2b （B）m?1??m?1??m?1?
22（C）x?2x?1?x?x?2??1 （D）a?a?b??b?1??a?ab?b?1?
2322233
2．把多项式－8ab＋16abc－24abc分解因式，应提的公因式是( )，
2223333
（A）－8abc （B） 2abc （C）－4abc （D） 24abc 3．下列因式分解中，正确的是（ ）
2?? （A）3m?6m?m?3m?6? （B）ab?ab?a?a?ab?b?
222222 （C）?x?2xy?y???x?y? （D）x?y??x?y? 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
22 （A）a?4 （B）a?2 （C）?a?4 （D）?a?4 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．
122222
（A）4x－1 （B）4x＋4x－1 （C）x－xy＋y D．x－x＋ 26．若4x?mx?9是完全平方式，则m的值是（ ）
（A）3 （B）4 （C）12 （D）±12
22222
经典例题讲解：
提公因式法：
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律 例：x2y?xy2 p(x?y)?q(y?x) x(a?b)?y(a?b)
p(x?y)?q(y?x) 3(x?1)3y?(1?x)3z mx(a?b)?nx(b?a)
变式练习：
1．多项式6ab－3ab－21ab分解因式时，应提取的公因式是 ( )
A.3ab B.3ab C.3ab D.3ab
2222．如果?3xy?mx??3x?n?2?，那么（ ）
2
2
32
22
32
22
23
A．m=6，n=y B． m=-6， n=y C．m=6，n=-y D． m=-6，n=-y 3．m2?a?2??m?2?a?，分解因式等于（ ）
A．?a?2?m2?m B．m?a?2??m?1? C．m?a?2??m?1? D．以上答案都不能 4．下面各式中，分解因式正确的是 ( )
A.12xyz－9xy=3xyz(4－3xy) B.3ay－3ay + 6y=3y(a－a+2)
C.－x+xy－xz=－x(x+y－z) D.ab + 5ab－b=b(a+ 5a) 5．若a+b=7,ab=10,则ab?ab的值应是（ ）
A．7 B．10 C．70 D．17 6.因式分解
322
1．6x－8x－4x 2．xy(x－y) + 2xy(y－x)
3.a?x?m??ab?m?x? 4.?x?2???1?x??2?x?
222
2
2
2
2.2
2
2
??
运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：
平方差：a?b?(a?b)(a?b)33222 完全平方：a?2ab?b?(a?b)
23322222 立方和：a?b?(a?b)(a?ab?b) 立方差：a?b?(a?b)(a?ab?b) 例1. 把下列各式分解因式：
（1）x－4y （2）?2
2
12a?3b2 3
2（3）(2x?y)?(x?2y) (4)?x?4x?4
22
例2．（1）已知a?b?2，利用分解因式，求代数式
（2）已知a?b?4a?6b?13?0，求a?b。
变式练习：
1．下列各式中不能运用平方差公式的是（ ）
22A．?a?b B．?x?y C．?z?49xy D．16m?25np 42．分解因式a?4?b?c?,其中一个因式是（ ）
2121a?ab?b2的值 222222222422A．a?2b?c B．a?2b?2c C．a?2b?2c D．a?2b?2c 3． ?1?x?2x分解因式后的结果是（ ）
A．不能分解 B．?x?1? C．??x?1? D．??x?1?
222222224．下列代数式中是完全平方式的是（ ）
①x?4x?4 ②?x?4x?4 ③9x?3x?1 ④ab?ab?2222212222 ⑤x?4xy?2y ⑥9x?16y?24xy 4A．①③ B．①② C．④⑥ D．④③
22
5．k－12xy+9x是一个完全平方式，那么k的值为（ ）
A．2 B．4 C．2y D．4y
224
6．若x?2?m?3?x?16是完全平方式，则m的值等于（ ） A．－5 B．7 C．－1 D．7或－1 7.因式分解
1．x?1 2．x?12x?36
3．
42
122m?1?m 4．16(a?b)2?24(a?b)?9 93
十字相乘法：
对于二次项系数为1的二次三项式x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b) 2方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 例1 把下列各式分解因式：
（1）x2?2x?15； （2）x2?5xy?6y2．
例2 把下列各式分解因式：
（1）2x2?5x?3； （2）3x2?8x?3．
对应练习：
1．如果x?px?q?(x?a)(x?b)，那么p等于 ( )
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)
2．如果x?(a?b)?x?5b?x?x?30，则b为 ( )
222A．5 B．－6 C．－5 D．6
23．多项式x?3x?a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( )
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )
A．x2?x?2 B．3x2?10x2?3x C．4x2?x?2 D．5x?6xy?8y 5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( )
A．2(x?y)?13(x?y)?20 B．(2x?2y)?13(x?y)?20 C．2(x?y)?13(x?y)?20 D．2(x?y)?9(x?y)?20 6．m2?5m?6?(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________． 7.因式分解
222222(1)a2－7a+6 (2) 3a2?8a?4 (3) 5x2?7x?6
(4) 6y2?11y?10 (5) 5a2b2?23ab?10 (6) 3a2b2?17abxy?10x2y2
(7) x2?7xy?12y2 (8) x4?7x2?18
(9) 4m2?8mn?3n2 (10) 5x5?15x3y?20xy2
分组分解法：
分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a2?b2?a?b没有公因式，又不能直接利用分式法分解
例1 分解因式
（1）2x?ax?2y?ay （2）x?4x?x?16
2 （3）4x?4xy?y?a （4）7a?3b?ab?21a
222432
因式分解讲义(适合0基础的)
