M，此时MN最小，MN?ON?OM，
OB?OC?CB?6?12?18(cm)ON?BN?MN?ON?OM?92?6(cm)；
2OB?92(cm)，所以2（2）当点O与BC的中点重合时，如图②，点O移动了12cm，设半圆与AB交于点H，连接OH、CH，OH?OC?OB?6，
S阴影?S扇形HOC?S?BOH?901??62??6?6?9??18； 3602（3）当半圆O与直线AC相切时，运动的距离为0或12，所以x?0（秒)或6（秒)；当半圆O与直线AB相切时，如图③，连接OH，则OH?AB，OH?6，OB?2OH?62，OC?BC?OB?12?62，移动的距离为6?12?62?18?62(cm)，运动时间为x?18?62?9?32（秒)． 2【详解】
解：解（1）当N与点B重合，点M与点D重合时，MN最大，此时MN?DB?DE?BC?12?12?24(cm)
如图①，过点O作ON?AB于N，与半圆交于点M，此时MN最小，
MN?ON?OM，
?ABC?45?， ??NOB?45?，
在Rt?ONB中，OB?OC?CB?6?12?18(cm) ?ON?BN?2OB?92(cm)， 2?MN?ON?OM?92?6(cm)，
故答案为24cm，(92?6)cm；
（2）当点O与BC的中点重合时，如图②，点O移动了12cm，
设半圆与AB交于点H，连接OH、CH．
BC为直径，
??CHB?90?，
?ABC?45?
??HCB?45?，
?HC?HB，
?OH?BC，OH?OC?OB?6，
S阴影?S扇形HOC?S?BOH?901??62??6?6?9??18； 3602（3）当半圆O与直线AC相切时，运动的距离为0或12， ?x?0（秒)或6（秒)；
当半圆O与直线AB相切时，如图③，
连接OH，则OH?AB，OH?6 ?B?45?，?OHB?90?， ?OB?2OH?62， OC?BC?OB?12?62，
移动的距离为6?12?62?18?62(cm)， 运动时间为x?18?62?9?32（秒)， 2综上所述，当x为0或6或9?32时，半圆O与?ABC的边所在的直线相切． 【点睛】
本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.
6．如图，PA，PB分别与长交
O相切于点A和点B，点C为弧AB上一点，连接PC并延
O于点F，D为弧AF上的一点，连接BD交FC于点E，连接AD，且
?APB?2?PEB?180?．
（1）如图1，求证：PF//AD；
（2）如图2，连接AE，若?APB?90?，求证：PE平分?AEB； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AB交PE于点H，连接OE，AD?8，
sin?ABD?4，求PH的长． 525 7【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】 【分析】
（1）连接OA、OB，由切线的性质可得?OAP??OBP?90?，由四边形内角和是
360?，得?P??AOB?180?，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到
?AOB?2?ADB，等量代换得到?ADB??PEB，由同位角相等两直线平行，得到PF//AD；
（2）过点P做PK?PF交EB延长线于点K，由?APB?90?得2?PEB?90?，从而?PEB?45?，由切线的性质，得PA?PB，由PK?PE，?PEK?45?，得PE?PK，从而?APE?90???EPB，进而?APE??BPK，即可证得
?APE≌?BPK由此?K??AEP?45?，得到?AEP??PEB，即可证得PE平分?AEB；
（3）连接AO并延长交圆O于点M，连接OB、OH、OP、OD、DM，由
?ADE?45?，?AED?90?，可得DE?AE，由OA、OD为半径，可得OA?OD，即可证出?DEO≌?AEO，由直径所对的圆周角是直角，可得?ADM?90?，在
Rt?ADM中，由正弦定义可得AM?10，由此OA?OB?5，由OAPB为正方形，对
角线AB垂直平分OP，从而，OH?PH.在Rt?OAP中，OP?2OA?52.延长EO交AD于K，在Rt?OEP中，由勾股定理得PE?7，在Rt?OEH中，由勾股定理得
25. 7【详解】 PH?（1）连接OA、OB
∵PA、PB与圆O相切于点A、B，且OA、OB为半径， ∴OA?AP，OB?BP， ∴?OAP??OBP?90?，
∴在四边形AOBP中，?P??AOB?360??180??180?， ∵AB?AB， ∴?AOB?2?ADB， ∴?P?2?ADB?180?， ∵?P?2?PEB?180?，
∴?ADB??PEB， ∴PF//AD
（2）过点P做PK?PF交EB延长线于点K
∵?APB?90?，
∴2?PEB?180??90??90?， ∴?PEB?45?，
∵PA、PB为圆O的切线， ∴PA?PB，
∵PK?PE，?PEK?45?， ∴PE?PK ，
∵?APE?90???EPB??KPB?90???EPB， ∴?APE??BPK， ∴?APE≌?BPK， ∴?K??AEP?45?， ∴?AEP??PEB， ∴PE平分?AEB；
（3）连接AO并延长交圆O于点M，连接OB、OH、OP、OD、DM
∵?ADE?45?，?AED?90?， ∴DE?AE， ∵OA、OD为半径， ∴OA?OD， ∵OE?OE， ∴?DEO≌?AEO， ∴?AEO??OED?∴?OEP?90?，
1?AED?45?， 2
∵AM为圆O的直径， ∴?ADM?90?， ∵弧AD?弧AD， ∴?ABD??AMD，
在Rt?ADM中，AD?8，sin?AMD?∴OA?OB?5，
由题易证四边形OAPB为正方形， ∴对角线AB垂直平分OP，AB?OP， ∵H在AB上， ∴OH?PH， 在Rt?OAP中，OP?延长EO交AD于K，
∵DE?AE，可证OK?AD，?DOK??ABD， ∴DK?KE?4，OK?3，OE?1 ∴在Rt?OEP中，PE?OP2?OE2?7 在Rt?OEH中，OH2?OE2?EH2 ∵OH?PH，EH?PE?HP?7?PH ∴PH2?12??7?PH?
24，则AM?10， 52OA?52，
25． 7【点睛】
∴PH?本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．
7．已知AB是
O的一条弦，点C在O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且
CD?CB．
（1）如图1，如果BO平分?ABC，求证：AB?BC； （2）如图2，如果AO?OB，求AD:DB的值；
西北工业大学附属中学数学圆 几何综合检测题(Word版 含答案)
