第一章 《物体的平衡》竞赛测试题
时间：150分钟 总分：150分
1、(15分)如图所示，四个半径为r的匀质球在光滑的水平面上堆成锥形。下面三个球用绳缚住，绳与三个球心在同一水平面内。如各球均重P，求绳内张力。忽略上面未放球前，绳内已有的初始张力。
2、(15分) 质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态，杆与棱边缘之间的摩擦因数为μ，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计。为达到图示的平衡状态，参数m、M、μ、L、d 、α应满足什么条件？
3、(20分)三根圆木如图所示，堆放在水平地面上，它们之间以及与地面之间的摩擦系数μ相同。⑴三根圆木的半径和质量相同，试确定保持平衡所需的静摩擦系数的最小值。⑵三根圆木质量相同，下面两根半径为R，上面一根半径为r。设静摩擦系数μ=0.5，求保持不稳所需r/R的比值。
4、(20分)半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角θ。
第1题图 第2题图 第3题图 第4
题图
5、(20分)如图所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为m，半径为R，与墙和木板间的动摩擦因数为μ，板很轻，其质量可以忽略。板的一端O与墙用光滑铰链相连，另一端A挂有质量为m′的重物，OA长为L，板与竖直夹θ角，θ=53°，试问，m′至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论。
6、(30分)由重量可以忽略的轻杆组成的一种对称的支架结构，如图所示，这里构件FC、AD和EB交叉但不接触，其它结点都用光滑轴连结在一起，现将此支架放于竖直平面内，在AC两点支起，而在B点施竖直向下的力W。试求各杆所受内力的大小？
7、(30分)等重的两小木块由一根不可伸长的轻绳相连，放在倾角为α的斜面上。两木块与斜面的静摩擦系数分别为μ1和μ2，已知μ1>μ2，tanα=μ1μ2 。求绳子与斜面上的最大倾斜线(图中虚线)之间的夹角θ应满足什么条件，它们才能在斜面上保持静止。
第5题图 第6题图 第7题图
试题参考答案
1、解：四个球的球心构成正四面体，如图1所示，由几何关系可得：OO1?26r，3O4O1?23r，以上面球为研究对象，下面三个球对上面球的作用力大小相等，设为N，366?G，所以：N?G 36则：3N以下面三球中一个球O4为研究对象。设所受的橡皮条的拉力分别为F1=F2=F，此二力的合力必过圆心，其大小为：F??所以有：
3F。其受力如图2所示。此球在竖直平面内的力如图所示。
F? ?3F?23366N???G，解得：F?G 33618
图1 图2 图3
2、解：受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：
Ncos??Fmsin??(M?m)g ① Nsin??N1?Fmcos?②
(M?m)g?Ncos?
sin?(M?m)g?Ncos???N 杆不滑动的条件为：Fm??N ，所以
sin?由①式可得：Fm?即：(M?m)g?N(cos???sin?)③
以m所在位置为转动轴得力力矩平衡方程：MgLcos??③④式相除可得：1?Nd ④ cos?mL?[cos2?(cos???sin?)] ⑤ Md以桌棱为轴转动平衡方程为：mgd?N1dtan??Mg(Lcos??d) ⑥ 物体不转动的条件是：N1?0，所以由⑥式可得：mgd?Mg(Lcos??d)
mL?cos? ⑦ MdLmL由⑤、⑦两式可得：cos??1??[cos2?(cos???sin?)] ⑧
dMdLL2由上式可得：cos??[cos?(cos???sin?)]，即：cos?(cos???sin?)?1
dd所以：??tan?
LmL综上所述，物体处于平衡状态的条件是：cos??1??[cos2?(cos???sin?)]，
dMd且必须满足：??tan?。
整理得：1?
3、解：以木块2为研究对象，受力图如图所示。由以圆心为转动轴的力矩平衡可知：f1?f2 设N1与水平方向夹角为?，在竖直方向上有：N2?G?N1sin??f1cos? 所以有：N2?N1，因此先达到临界条件的是f1。
(1) 当三圆木半径相等时，??60。在水平方向：N1cos??f1sin??f2， 可得：???f1?0.268 N1(R?r)2?R2R(2) 当三圆木半径不相等时，cos??，sin??
R?rR?r在水平方向：N1cos??f1sin??f2，即f1(R?r)2?R2R ?f2?N1R?rR?r??f1Rr1?，整理可得：?
R4N1R?r?(R?r)2?R2
4、解：分析图中几何关系可得：F1=F2=G1，则N?2Fsin?2?2m2gsin?2，N必过圆心。
?AOQ与过圆心O的力的三角形相似，所以
在?AOQ中，由正弦定理得：
m1gN? AQOQAQsin(???2?)OQ?sin?Lsin(90??2
)在?AOE中，sin(???)?由上述整理得：sin??R LRm2
L(m1?m2)说明：如果以A点为转动轴，列力矩平衡的方程，解答变得更简单。
5、圆柱体受力图如图所示。以圆柱中心为轴可得：f1?f2
以f1、f2的交点为轴列力矩平衡方程：mgR?N1Rcot()?N2Rcot()
??22所以N1?N2，因此圆柱先与木板打滑。所以f1?f2??N2 由竖直方向物体平衡可得：mg?N2sin??f1?f2cos? 由上两式得：N2?mg
???cos??sin?对木板以O点为轴列平衡方程可得：m?gLsin??N2Rcot()
?2mRcot()25Rm2整理上式并代入数据得：m?? ?Lsin(???cos??sin?)8L(2??1)上式分析可得：2??1?0，即必须满足：???1 2
6、解：设FEB?F，则在结点E处有：FDE?FEF?
2F 2分析D点可知：FAD?FED?22F，FCD?(FED?FAD)?F 2222FFAF?(FEF?FCF)?F 22根据对称性可知：FCF?FEF?分析结点C，在水平方向：
2123FCF?FBC FCF?FBC，竖直方向：RC?FCD?2222又因：RC?2WF ，FCD?F，FCF?223?3W 2最后得：F?代入上面各式中可得各杆内力：
FDE?FEF?FAD?FCF?3?3F 22F?22(3?3)F
4FFA?FCD?F?FCB?FAB?333?3F?F 36
第一章《物体的平衡》竞赛测试题
