2024版高考数学二轮复习 专题限时集训5 概率 文 专题限时集训(五) 概率
[专题通关练］ (建议用时：30分钟）
1．［一题多解］(2024·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0。7 D．0。8
C ［法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70,
70所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
100故选C。
法二：用Venn图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图:
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为错误!＝0.7。故选C.]
2．已知定义在区间[－3，3］上的函数f(x)＝2＋m满足f(2）＝6，在[－3,3］上任取一个实数x，则使得f（x）的值不小于4的概率为（ )
A.错误! B.错误! C。错误! D.错误!
B ［∵f（2）＝6，∴2＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2＋2≥4，即x≥1，而x∈［－3，3],
故根据几何概型的概率计算公式,得f（x）的值不小于4的概率P＝错误!＝错误!.故选B。］ 3．标有数字1，2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( )
A。错误! B.错误! C。错误! D.错误!
A [5张卡片上分别写有数字1,2，3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有:(2，1)，（3,1），
- 1 -
2
xx2024版高考数学二轮复习 专题限时集训5 概率 文 (3,2），(4,1），（4，2)，(4，3）,（5,1),(5，2),(5,3)，（5,4)，共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P＝错误!＝错误!,故选A.]
4．(2024·郑州模拟）在区间(0,2）内随机取一个实数a,则满足错误!的点（x，y）构成区域的面积大于1的概率是（ )
A。错误! B.错误! C.错误! D。错误!
C ［作出约束条件错误!表示的平面区域如图中阴影部分所分的面积S＝错误!×a×2a＝a＞1，∴1＜a＜2,根据几何概型的得所求概率为错误!＝错误!,故选C.］
5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.错误! C．1－错误!
2
示，则阴影部概率计算公式
B.错误! D．1－错误!
D [如图，直角三角形的斜边长为错误!＝17，设其内切圆8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴内切圆的面积为πr＝9π，切圆外的概率P＝1－错误!＝1－错误!。］
6．（2024·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统
2
的半径为r，则∴豆子落在内
计，在经停某
站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0。97，有20个车次的正点率为0。98，有10个车次的正点率为0。99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
0．98 [x＝错误!＝0。98.
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0。98。]
7．已知实数x,y满足|x|≤3，｜y｜≤2，则任取其中的一对实数x，y，使得x＋y≤4的概率为________．
错误! [如图，在平面直角坐标系xOy中，满足|x｜≤3，｜
2
2
y｜≤2的点在
括边界）．由题
矩形ABCD内(包括边界），使得x＋y≤4的点在图中圆O内(包意知,S矩形ABCD＝4×6＝24,S圆O＝4π，故任取其中的一对实数
22
x,y，使得x2＋
y2≤4的概率P＝错误!＝错误!＝错误!.]
8．从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐
- 2 -
2024版高考数学二轮复习 专题限时集训5 概率 文 角三角形的概率是________．
错误! ［从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC，
ABD，ABE，ACD，ACE,ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种
数为5，即△ABD,△ACD,△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P＝错误!＝错误!.］
[能力提升练] （建议用时：15分钟)
9．某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间（单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时,依此类推，统计结果如表：
停靠时间 轮船数量 2.5 12 3 12 3.5 17 4 20 4.5 15 5 13 5。5 8 6 3 （1）设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；
（2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
[解] （1）a＝
1
×（2.5×12＋3×12＋3。5×17＋4×20100
＋4.5×15＋
5×13＋5.5×8＋6×3）＝4.
（2）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y， 则错误!
若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，则|y－x｜＜4, 符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x，y轴)所示．
记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A， 则P（A）＝错误!＝错误!.
所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为错误!.
10．一汽车厂生产A，B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量（单位：辆)如表：
A类轿车 100 B类轿车 150 C类轿车 z 舒适型 - 3 -
2024版高考数学二轮复习专题限时集训5概率文(最新整理)
