Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第4章 效用最大化与选择
课后习题详解
跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢Twinkie（t）和苏打水（s），他从中得到的效用为：U?t,s??ts。
（1）如果每份Twinkie为0.1美元，苏打水每瓶为0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？
（2）学校为了减少Twinkie的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与（1）中相同的效用，妈妈现在要给他多少伙食费？
解：（1）对效用函数U?t,s??ts进行单调变换，令V?t,s????U?t,s????ts，这并不改变偏好次序。
保罗效用最大化问题为：
max tss.. 0.1tt?0.25s?12
设拉格朗日函数为：
L?s,t,???ts? ? ?1?0.1t ?0.25s?
一阶条件为：
?L?s?0.1??0?t?L ?t?0.25??0?s?L ? 1?0.1t ?0.25 s ? 0??解得：s?2，t?5。
因此，他所获得的效用：U?10。
（2）消费品Twinkie价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：
min0.4t?0.25ss..tts?10
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
设拉格朗日函数为：
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
L?s,t,???0.4t?0.25s???10?ts?
一阶条件为：
?L?0.4?s??0 （1） ?t?L?0.25?t??? （2） ?s?L?10?ts?0 （3） ??由上述三式解得t?2.5，s?4，则最小支出为：m1?0.4?2.5?0.25?4?2，所以妈妈现
在要给他2美元伙食费使他的效用水平保持不变。
2．（1）一位年轻的品酒师欲支出300美元建一小酒窖，他特别喜欢两种酒：一种是1997年生产的昂贵的法国波尔多白葡萄酒（wF），每瓶价格为20美元；另一种是稍微便宜的2002年产的加利福利亚葡萄酒（wC），每瓶4美元。如果他的效用函数如下式所示，则他将在每种酒上花多少钱？
2/31/3U?wF,wC??wFwC
（2）当他来到酒店时，我们年轻的品酒师发现由于法郎贬值，1997年产的法国波多尔
白葡萄酒（wF）已经降到每瓶10美元。如果加利福尼亚葡萄酒依然是每瓶4美元，此时，在价格已变的情况下，为了实现最大效用，他每种酒的购买量应该是多少？
（3）请解释为什么该品酒师在（2）中比（1）中的状况要好。你如何用货币值来衡量效用的增加？
解：（1）该品酒师的效用最大化问题为：
2/31/3maxwFwCs.. 20twF?4wC?300
设拉格朗日函数为：
2/31/3L?wFwC ? ??300 ?20wF ?4wC?
一阶条件为：
?L1/3?2/3?wC/wF??20??0?wF?L2/3?1/3?wF/wC??4??0 ?wC?L?300 ?20wF?4wC?0??从而可以解得：wF?10，wC?25。
因此为使效用最大化，该品酒师应该在法国白葡萄酒上花200美元，在加利福利亚葡萄酒上花100美元。
（2）当法国波多尔白葡萄酒价格下降时，品酒师的效用最大化问题变为： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
设拉格朗日函数为：
1/3maxwwC2/3FBorn to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
s.. 10twF?4wC?300
2/31/3L?wF wC ? ? ?300 ?10wF ?4wC?
一阶条件为：
?L1/3?2/3?wC/wF??10??0?wF?L2/3?1/3?wF/wC??4??0 ?wC?L?300 ?10wF ?4wC ?0??解得：wF?20，wC?25。故价格变化后，为实现最大效用，品酒师应购买法国白葡萄酒20瓶，购买加利福尼亚葡萄酒25瓶。
2/3（3）在（1）中，品酒师的效用为：U?wF,wC??wFwC1/3?102/3?251/3?13.5；
2/3在（2）中，品酒师的效用为：U?wF,wC??wFwC1/3?202/3?251/3?21.5。
因而为了实现（2）中的效用水平，此人需要更多的收入。
根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，品酒师对两种葡萄酒的需求函数分别为：
xF?xC?2I 3PFI 3PC2/3代入效用函数可得他的间接效用函数为：V?PF,PC,I???2/3?现在有21.5??2/3?2/3??1/3??PF?2/3PC?1/3I。
1/3??1/3?1/3?2/3?1/3IpFpCI??2/3?2/3?20?2/3?4?1/3I，从而可以解得收入为：
I?482。在此收入下，该品酒师者将购买的商品数量为：wF?16.1，wC?40.1，获得的效
用为U?21.5。
3．（1）在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（c）和白兰地（b）：
U?c,b??20c?c2?18b?3b2
那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用？（假定他不受预算约束）
（2）后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。在这一条件下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄？
解：（1）在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：
maxU?c,b??20c?c2?18b?3b2
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
效用最大化的一阶条件为：
?U?20?2c?0 ?c?U?18?6b?0 ?c解得c?10，b?3。从而可知J.P.所获得的最大效用为：U?127。 （2）J.P.所受的约束为：b?c?5，此时他的效用最大化问题为：
maxU?c,b??20c?c2?18b?3b2s.t. b?c?5
设拉格朗日函数为：
L?20c?c2?18b?3b2???5?c?b?
一阶条件为：
?L ? 20 ?2c? ? ? 0 ?c?L ? 18? 6b?? ? 0 ?b?L ? 5?c?b ? 0 ??从而可以解得：b?1，c?4，U?79。 4．（1）奥德鲍尔先生享用商品x和y所得的效用函数为：
U?x,y??x2?y2 如果PX?3美元，PY?4美元，而他的总收入为50美元，求他所能得的最大效用？ 提示：求U2的最大值要比求U的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？
（2）画出奥德鲍尔的无差异曲线，并做出无差异曲线与预算线的切点，曲线图是如何描述奥德鲍尔的行为的？你能找到真正的最大值吗？
解：（1）因为U2可由U经过单调变换得到，所以，最大化U2同时也就使U最大化。因此，奥德鲍尔的效用最大化问题可以表述为：
maxU2?x,y??x2?y2s.. 3tx?4y?50
最优化问题的拉格朗日函数为：
L?x2?y2???50?3x?4y?
一阶条件为：
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
?L ? 2x?3? ? 0?x?L ? 2y ? 4? ? 0?y?L ? 50?3x? 4y?0??从而可以解得：x?6，y?8，U?10。
（2）奥德鲍尔的无差异曲线如图4-5所示，显然该无差异曲线没有递减的MRS。无差异曲线与预算线的切点如图4-5中的A点所示。在A点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而A点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是B点，奥德鲍尔将其所有的收入用于购买x，而y商品的购买量为零。在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。
图4-5 奥德鲍尔的无差异曲线图
5．A先生从马丁尼酒（m）中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：U?m??m。 A先生特别喜欢他的马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒（g）与苦艾酒（v）按2∶1的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：
?g?U?m??U?g,v??min?,v?
?2?（1）画出A先生以g与v为变量的各种效用水平的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁尼酒的方法。
（2）求出对g与v的需求函数。
（3）利用（2）的结论，求出A先生的间接效用函数。
（4）试计算A先生的支出函数；对于每一种效用水平，将支出表示成Pg和Pv的函数。 解：（1）A先生的无差异曲线如图4-6所示。无论商品g与v的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足
g
?v也即g?2v的点。 2
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第4章 效用最大化与选择)
