第六章 线性空间
.设
证明： 。
1
MN ,
M I N M , M U N N
证 任 取
M , 由 M
N , 得
N , 所 以
M N , 即 证 M N I M 。 又 因
M N
M , 故 M I N
M 。再证第二式，任取
M 或
N , 但 M
N ,因此无论
哪 一种情形，都有
N , 此即。但 N
M
N , 所以 M U N N 。
2.证明 M ( N L )
(M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) ( M L) 。
证
x M
( N L), 则 x M 且 x N
L. 在后一情形， 于是 x
M N或 x M L.
所以 x
(M
N ) (M L) ，由此得 M
( N L) (M
N ) (M
L) 。反之，若
N或 x (M N ) ( M L) ，则 x M
x
M
L. 在前一情形， x M , x N , 因此
x N L. 故 得 x M ( N L), 在 后 一 情 形 ， 因 而 x M , x L, x
N U L ， 得
x M ( N L), 故 ( M N ) ( M L) M (N L),
于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。
若 x
M U（ N I L），则 x M ， x
N I L 。
在前一情形 X
， 且 X
M U L，因而 x （ M U N）
。
在后一情形，
x xM U N ,x
I（，即MU L X ） （ M
因而 且
N L, x M U N, X M U L
U IU N）（M L）所以
（
M U N）I（MU L） M U（NU L） 故 M U（N I L） =（ M U N）I（ MU L）
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于 n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设 A 是一个 n × n 实数矩阵， A 的实系数多项式
f （A）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（ a1 ，b1）（ a
b （ a1 a2，b1
b2
a1 a2）
（kk 1） k。（ a ， b2
1） =（ ka1， kb1 +
a1
1
2
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
k oa 0 ；
7） 集合与加法同 6），数量乘法定义为：
k oa a ；
8） 全体正实数 r ，加法与数量乘法定义为：
a b
ab ， k oa
ak ；
解 1 ）否。因两个
n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如
（ xn 5）（ xn 2） 3 。
2）令 V={f（ A） |f （ x）为实数多项式， A 是 n× n 实矩阵 }
因为
f（ x） +g（ x） =h（x）， kf（ x）=d（ x）
所以
f （ A）+g（A）=h（ A）， kf（ A） =d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的
1~8 条，故 v 构成线性空间。
1~8 条性质，只需证明对称矩阵（上三
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的
角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当 A， B 为反对称矩阵，
k 为任意一实数时，有
（A+B） =A+B=-A-B=- （ A+B）， A+B 仍是反对称矩阵。 （KA） KA K（ A） （KA），所以 kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，
2
（ 0，0）是零元，任意（ a，b）的负元是
（-a， a -b）。对于数乘：
。（ ， ）（。 ，。 1 a b 1 a 1 b
1(1 1) 2
2 a ) ( a, b),
k.(l .(a, b)
k.(la , lb l (l 1) a2 ) (kla , k[lb l (l 1) a2]
2 2 l (l 1) a ] k (k 1) (la ) ) (kla , 2 2
(kla , k[lb
22
kl (kl
k(k 1) (la )2 )
2
1) a2
(kla ,
kl ( kl
2
k( k 1) (la ) 2 )
2
1) a2 klb ) ( kl ).( a, b),
2
(k l ).( a, b)
[( k l ) a,
(k
l )( k l 1) a2 (k l )b]
2
k.(a,b)
l .(a,b) (ka, kb k (k 1) a2 ) (la , lb l (l 1) a 2 2 2
(ka la , kb
k( k 1) a2 k (k 1) a2 kla 2 )
2 2
(k l )b].
[( k l )a, (k 1)(k l 1) a2
2
即 ( k l ) (a, b) k (a,b) l (a, b) 。
k [( a1 , b1 ) (a2 ,b2 )] k (a1 a2 , b1 b2 a1a2 )
＝ [k (a1 a2 ), k(b1 b2 a1 a2k( k 1)
(a1 a2 ) 2 )] ，
2
k ( a1, b1 ) k (a2 , b2 )
k(k
1)＝ (ka1 ,kb1
a12 )
k(k 1) 2(ka2 , kb2a22 )
2
＝ (ka1 ka2 , kb1 k (k 1) a12
2kb2 k (k 1)
2a22 k 2a1 a2 )
＝ (k (a1 a2 ), k (b1
b2 a1 a2 ) k (k 1) a12
k( k 1)
2 2a22 k 2 a1 a2 k a1 a2 )
＝b1)
(k (a1 ( a12 a2 ), k(b1
2 a1 a2 )
k(k a22 ) 2 ) ，
2
即
k (a1 ,b1
) (a2 , b2 ) k (a1, b1 ) k (a2 ,b2 ) ，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为
1 0
. 。
7）否，因为 ( k l )
,k l 2 , 所以 (k l ) (k ) (l
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i )a b ab ba b
a;
ii )( a b) c (ab) c
abc
a (bc)
a (b
c);
iii )1是零元： a
1
1 a 1 a;1
iv ) a的负元是 : a 1
a
1,且 1
a 1;
a a a
a
v)1 a a1 a;
vi )(k o(l oa))
l )k
alk akl
ok o( al
)
(ak l
k
l
(kl ) oa;
vii )(k ol ) a
aaa (ka) (la );
k
k
k
viii )k ( a b) k o(ab ) (ab) a b ( k oa) (k ob).
所以，所给集合
R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明： 1） k 0
0 2） k( ) k k 。
证 1） k0
k( ( )) k k ( ) k k( 1) (k ( k )) 0
0 。2）因为 k( ) k k ( ) k , 所以 k( ) k k 。
) ，
5 证明：在实函数空间中， 1， cos2 t, cos2t 式线性相关的。
证 因为 cos 2t
2 cos2 t 1 ，所以 1， cos2 t, cos2t 式线性相关的。
6 如果 f 1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) 是线性空间
P[ x] 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数
k1 ,k 2 , k3 使 k1 f1 ( x) k2 f 2 (x) k3 f3 ( x) 0 ，
不妨设 k1
0, 则 f 1 ( x)
kk2 f 2 ( x)
3 f3 (x) ，这说明 f 2 ( x), f 3 ( x) 的公因式也是 f
k1 k1
的 因 式 ， 即 f1 (x), f 2 ( x), f 3 ( x) 有 非 常 数 的 公 因 式 ， 这 与 三 者 互 素 矛 盾 ，f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) 线性无关。
7 在 P 4 中，求向量
在基
1 , 2 , 3 , 4 下的坐标。设
1） 1
(1,1,1,1), 2 (1,1, 1, 1), 3 (1, 1,1 1),
4
(1, 1, 1,1),
(1,2,1,1) ；
2） 1
(1,1,0,1), 2 (2,1,3,1), 3 (1,1,0,0),
4
(0,1, 1, 1), (0,0,0,1) 。
a b c d 1 解 1）设有线性关系
a 1
b a b c d 2 2
c 3
d 4 ，则
，
a b c d 1
a b c d
1
在基
可得1
1, 2 ,
3 , 4 下的坐标为 a51
,b, c
,d 1
。
4
4
4
4
a 2b c 0
a b c
d 0
2）设有线性关系
a 1 b 2 c 3 d
4
，则
，
3b d 0
a b d 1
可得 在基
1,
2 , 3 ,
4 下的坐标为
a 1, b 0, c 1,d 0 。
1 (x) 所 以
8 求下列线性空间的维数于一组基：
称，上三角）矩阵作成的数域
1）数域 P 上的空间 P n n ； 2） P n n 中全体对称（反对
P 上的空间； 3)第 3 题 8)中的空间 ;4)实数域上由矩阵 A 的全
体实系数多项式组成的空间
1
,其中 A= 0
0
0 0
0 0 ,
2
1
3i 2
。
n nij解 1) P 的基是 E }( i , j
1,2,...,n), 且 dim( Pn
n
)n2 。
...
...
... ... ... 1 ...
2)
i) 令 Fij
...
... ， 即
1 ... ... ...
...
a
ij
a
ji
1, 其 余 元 素 均 为 零 , 则
...
F11 ,...,F1n, F22 ,..., F2 n ,..., Fnn n(n 1) 维的。
是对称矩阵所成线性空间
M n 的一组基 , 所以 M n 是
2
... ...
... ... ...
... ...
1 ...
1 ... ... ...
ii) 令 Gij
， 即 aij
a ji 1,(i
j ), 其 余 元 素 均 为 零 , 则
... ...
G12 ,...,G1n, G23 ,...,G2n ,...,Gn 1,n 是反对称矩阵所成线性空间 n(n 1) 维的。
Sn 的一组基 , 所以它是
2
iii)
E11 ,...,E1n , E22 ,..., E2 n ,..., Enn 是上三角阵所成线性空间的一组基
,所以它是
n(n 1)
2
维的。
3)任一不等于 表出，即 . a
1 的正实数都是线性无关的向量 ,例如取 2，且对于任一正实数
2 是它的一组基。
a ,可经 2 线性
(log 2 a) 2,所以此线性空间是一维的，且 1
3i
3
n
1, n 3q
2
4)因为
,
1 ,所以
2 1
2
, n 3q 2 , n 3q
1 ，
2
1
, A
3
E, n 3q A2 ,n
于是 A
1
E ， 而 An
1
A, n 3q 1 。
3q 2
9.在 P 中 ,求由基
4
1, ， 2
,
3 , 4 , 到基
1 2
,,
3 , 4 的过渡矩阵 ,并求向量
在所指基下的坐
高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
