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典型例题
第四章数列 例1已知数列?1,（A）.
11...1n,?,,??1??2,...,那么它的第5项的值等于（） 49n15151（C）.
251（D）?.
25（B）?. 解：选（D）
分析：设f?n????1??等于f?5????1??5n111...1n，已知数列?1,,?,,?1?,...,那么它的第5项的值??2249nn11??.
255212n?1例2已知数列0,,,,2,49n（A）第3项. （B）第4项. （C）第10项. （D）第11项. 解：选（C）
,其中0.09是它的（）
n?1910?1，0.09???f?10?； 22100n10n?19分析2：2?0.09?，9n2?100?n?1?，9n2?100n?100?0，用十字相乘法：
100n分析1：f?n??图略，?n?10??9n?10??0，因为n?Z?，故，n?10.
例3数列,381524,,,2345.
的一个通项公式为（）
（A）
n?n?1?n?1n?n?1?n（B）.
（C）
n?n?2?n?1.
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（D）
n?n?2?n.
解：选（C）
分析1：因为通项公式中的n为正整数，而
n?n?1?nn?n?2??n?2?n?1为正整数，另外，n也为正整数，这与数列的前四项不符，显然，应当排除（B）、（D）。这样一来，正确答案只能在（A）、（C）中选。设f?n??
分析2：数列
n?n?1?n?1，因为f?1??1??1?1?1?1?0?3，排除（A），故选（C） 2381524,,,,2345可以表示为
4?19?116?125?1,,,,2345还可以表示为
22?132?142?152?1,,,,2345还可以表示为
?1?1?2?11?1,?2?1?2?12?1,?3?1?2?13?1,?4?1?22?14?1?1,，由此，猜出数列的通项为
?n?1?2?1n?1，对此通项进行化简：
?n?1?n?1n2?2n?1?1n?n?2???.
n?1n?1例4等差数列?an?中，第m项为n，第n项为m，那么它的第m?n项为（） （A）mn. （B）m?n. （C）m?n. （D）0. 解：选（D）
分析：由于m与n都要作为“项数”来处理，故m与n都应当是正整数，下面利用特例分析法，设第m?1项为n?2；第n?2项为m?1，这样构成公差为?1的等差数列，
2,1,0,?1,?2,....它的第m?n?1?2?3项为0.
更一般地分析：由于m与n都要作为“项数”来处理，故m与n都应当是正整数，设数列?an?的首项为a1，公差为d，am?a1??m?1?d，因为第m项为n，故，a1??m?1?d?n；
an?a1??n?1?d，因为第n项为m，故a1??n?1?d?m；
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那么该等差数列的第m?n项为
am?n?a1??m?n?1?d??a1??m?1?d??nd?n?nd?n?1?d?，另外，注意到方程组???a1??m?1?d?n,??n?1?d?m,将这个方程组中的两个方程相减并化简可以求出?d??1. ?a1故am?n?n?1?d??n?1???1???0.即该数列的第m?n项为0.
例5等差数列?an?前n项和为Sn，且S10?100，S30?900，那么S50的值等于（） （A）2400. （B）2500. （C）2700. （D）2800. 解：选（B）
分析：an?a1??n?1?d，S?a1?an?n??a1??a1??n?1?d??nn?22
S??a1?a1??n?1?d?n1?1?dn??2a??n?1?d?n22?na1?n?n2，
解方程组??S10?100,即??S900,?10a1?45d?100,得?30aa1?1,d?2，故
30?1?435d?900,Sn?n?1?22n?n?1?2?n2，S50?50?2500.
例6等差数列?an?中，已知a5?a8?a，那么a2?a5?a8?a11的值等于（） （A）a. （B）2a. （C）3a. （D）4a. 解：选
分析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则a8?a5?3da5?a8?a5??a5?3d??2a5?3d?a；a2?a5?3d，a11?a5?6d，
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，
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a2?a11??a5?3d???a5?6d??2a5?3d?a?a5?a8，故a2?a5?a8?a11?2a.
注意：表达式a2?a5?a8?a11，中的四个下标之间的关系，2?8?13?5?11. 例7两个数的等差中项为20，等比中项为12，那么这两个数为（） （A）18,22. （B）9,16. （C）4,36. （D）16,24. 解：选（C）
?a?b?20,?分析1：设这两个数分别为a,b.?2?ab?12,??a?b?40, ?ab?144,?； 18?22?40，但18?22?10?22?220?144，排除（A）； 9?16?25?40，排除（B）
； 4?36?40，且4?36?144，选（C）
16?24?40，但16?24?10?24?240?144，排除（D）
?a?b?20,?a?b?40,?分析2：设这两个数分别为a,b.?2对于方程组，利用韦达定理的逆??ab?12,?ab?144,?定理，可知a,b应当是二元一次方程x2?40x?144?0的两个根。用配方法，
x2?2?x?20?202?202?144，?x?20??256，?x?20??162，x?20??16，
22x?20?16，故a?20?16?4，b?20?16?36.
例8设Sn??3?1??32?2?33?3??????3n?n，那么S10的值等于（）
??311?3?55. （A）23?311?110. （B）2高升专资料精选
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310?3?55. （C）23?310?110. （D）2解：选（A）
分析：Sn??3?1??32?2?33?3??????3n?n
???3?32?33?...?3n??1?2?3?...?n?
注意：3,32,33,...,3n.是公比为3的等比数列，它的前n项和为，
??Tn?3?32?33?...?3n，?1?，而3Tn?32?33?...?3n?1，?2?，
用?2???1?：3Tn?Tn?3n?1?3，2Tn?3n?13n?1?3?3，Tn?，
2又因，1?2?3?...?n??n?1?n23n?1?3?n?1?n?，故Sn?， 22310?1?3?10?1?10311?3???55. 故，S10?222例9数列1,1?2,1?2?22,...,1?2?22?...?2n?1,...的第n项等于（） （A）2n?1?1. （B）1?2n?1. （C）2n?1. （D）1?2n. 解：选（C）
分析：数列1,1?2,1?2?22,...,1?2?22?...?2n?1,...的第n项就是数列的通项，
1?2?22?...?2n?1?1??2?22?...?2n?1?2n??2n，
设Sn?2?22?...?2n?1?2n,?1?，则2Sn?22?23?...?2n?1?2n?2n?1,?2?，
?2???1?：S高升专资料精选
n?2n?1?2，故
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1?2?22?...?2n?1?1??2n?1?2??2n??2n?1?2n??1??2?2n?2n??1
??2?1?2n?1?2n?1.
例10在等比数列?an?中，首项a1??2.7，公比q??，那么a6的值等于（）
131. 901（B）?.
901（C）.
301（D）?.
30（A）解：选（A） 分析：an?a1qn?1，a6?a1q6?13311?1??a1q???2.7???????5?.
90?3?10355例12在等比数列?an?中，首项a1?8，公比q?等于（） （A）15.5. （B）16.5. （C）17.5. （D）18.5. 解：选（A）
分析：S5?a1?a2?a3?a4?a5，?1?，
1，那么它的前5项和S5的值 21S5?a2?a3?a4?a5?a6,?2?， 26?1???2?：2S5?a1?a6，S5?2?a1?a6?，又因a1?a1q5，故
5??11??55S5?2?a1?a1q??2a1?1?q??2?8??1?????16??15.5.
??2??2??例13在等比数列?an?中，已知a3?a5?5，那么a1?a3?a5?a7的值等于（） （A）10. （B）25. （C）50. （D）75.
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解：选（B）
22分析：a3?a5?a3?a3q2?a3q?5，a1?a7?a3q?2?a3q4?a3q2?5?a3?a5，
??????故a1?a3?a5?a7?52?25.
例14设Sn?123n???...?，那么它等于（）
n?n?1?n?n?1?n?n?1?n?n?1?n2n?1（B）.
21（C）.
2（A）. （D）1. 解：选（C） 分析：Sn?n?n?1?111...1?2?3??n???. ??n?n?1?n?n?1?22111,,?,234,??1?n?1例15 已知数列 1,?A．?1 B．1
1?,n。 ,那么它的第10项的值等于（ ）
1 101D．
10C．?分析：数列通项公式为an???1?n?1?1，将n?10代入通项即可得到第10项的值： na10???1?10?1?11??. 1010答案：C． 注意：计算??1?数。
例16数列?A．
n?1的值时不要算错。－1的偶次方的值是正数，－1的奇次方的值是负
1111，，?，，1?22?33?44?5的一个通项为（ ）。
1
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B．?1
n?n?1?C．
1
n?n?1?n??1?D．
n?n?1?分析：数列各项的绝对值都等于其相应的序号乘序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为an答案：D．
例17 已知等差数列?an?中，a1?1，d?3，那么当an?298时，项数n等于（ ）。 A．98 B．99 C．100 D．101
分析：298?an?a1??n?1?d?1??n?1?3?1?3n?3?3n?2，
??1??. n?n?1?n3n?298?2，n?100.
答案：C．
例4 三角形的三个内角成等差数列是它的一个内角为60?的（ ）。 A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．非充分条件又非必要条件
分析：如果三角形三个内角成等差数列，可设a?d,a,a?d为三角形的三个内角的度数，从而得
?a?d??a??a?d??3a?180?，故a?60?。
?故三角形三个内角的度数成等差数列，则它的一个内角为60。
?反之，如果三角形的一个内角为60。则它是其他两个内角和的一半，三个内角一定成等
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差数列。
所以，三角形的三个内角成等差数列是它的一个内角为60?的充要条件。 答案：C．
例18 设a,b,c均为正数，如果lga,lgb,lgc成等差数列，那么a,b,c的关系可以表示成（ ）。
A．2b?a?c B．b2?ac C．b?D．
a?c
111?? baclga?lgc分析：lgb?，lga?lgc?2lgb，lg?ac??lg?b2?，b2?ac.
2答案：B．
例19 在各项为正数的等比数列?an?中，它们的各项具有关系an?an?1?an?2，那么这个数列的公比是（ ）。
A．
5?1 25?1 2?5?1 2?5?1 2B．C．D．
分析：设等比数列?an?的公比为q，首项为a，因各项具有关系an?an?1?an?2， 则aqn?1?aqn?aqn?1.因qn?0，用qn同除以上式两边，aq?1?a?aq， 又因首项为a且不为零，再用a同除以上式两边，
221?1?q，1?q?q2， q22q2?q?1，q2?2q高升专资料精选
1?5?5?1?1??1??， ????1???，?q????????2422?2???2????高升专资料精选
151511?5?，q???，q???。因为等比数列?an?的各项为q???q???2222222??正数，故公比q?0，而q1??21515??0故舍去；q2????0 保留， 2222故 q?5?1. 2答案：B．
例20 设3，x?1，27成等比数列，则x的值等于（ ）。 A．8或－10 B．2或－4 C．－2或4 D．8或10
分析：因为3，x?1，27成等比数列，则
?x?1?2?3?27?34?32，x?1?3，x?1??3，x??4或x?2.
答案：B．
例21 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1,3,9后又成等比数列。那么这三个数为（ ）。
A．5,7,9. B．3,5,7. C．4,8,16. D．6,10,18.
分析：设三个数分别为，a?d,a,a?d.?a?d??a??a?d??15，3a?15，
a?5。故这三个数分别为，5?d，5，5?d。又?5?d??1?6?d， 5?3?8，?5?d??9?14?d成等比数列，故82??6?d??14?d?，
64?84?6d?14d?d2?84?8d?d2，d2?8d?20?0，?d?10??d?2??0，
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d??10?0，舍去，d?2，故所求三个正数为：3,5,7.
答案：B．
例22 数列?an?的第n项an?n?n?2?，则a8?a10?______.
分析：a8?a10?8?8?2??10?10?2??8?10?10?12?10?8?12??200. 答案：200.
例23已知等差数列?an?中，a1?20，an?54，Sn?999，则d?___，n?___. 分析：将a1?20，an?54，Sn?999代入等差数列前n项和公式 Sn?n?a1?an?2，得 999?n?20?54?2.解这个方程，得n?27.将n?27，
a1?20，an?54代入等差数列的通项公式an?a1??n?1?d，得
54?20??27?1?d. 解这个方程，得d?1717. 答案：，27. 1313注意：对于等差数列?an?，如果已知a1,an,n,d,Sn中的任意三个数，就可以利用公式
an?a1??n?1?d，Sn?n?a1?an?2，求出其余的两个数。
例24已知等比数列?an?中，a2?10,a3?20，那么它的前5项和S5?______. 分析：q?a320??2，S5?a1?a2?a3?a4?a5，（1） a210a2?a3?a4?a5?a6，（2）
a1?
a210??5. qS5?q2（2）－（1），?q?1?S5?a6?a1?a1q5?1，S5???a1?q5?1?q?1，
S5?5?25?1?2?1?5?31?155. 答案：155.
注意：本题也可以根据给出的条件将此数列逐项求出来，然后再相加，但这时往往较繁琐。 例25 已知数a?高升专资料精选
3?23?2，b?3?23?2，那么它们的等差中项A?______，
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等比中项G?______.
11?3?23?2?1??分析：A??a?b?????22?3?2?2?3?2 ??3?2?3????3?2?2??3?2?22 1103?26?2?3?26?2??5， 22?? G2?ab?答案：5，?1.
3?23?2?3?23?2?1，G??1.
注意：两个数的等差中项是一个数，而两个数的等比中项互为相反数。 例26 若lgx?lgx2??lgxn?n2?n（n是正整数），那么x?______.
分析：n2?n?lgx?lgx2?n?n?1??lgxn?lg?x?x2??xn??lgx1?2??n
?lgx2?n?n?1?2lgx，lgx?2n?n?1??2lg10?lg102?lg100，
n?n?1?x?100. 答案：x?100.
例27 已知等差数列?an?的第4项是10，第8项是22，求它的第10项。 解：已知a4?10，a8?22，求a10??an?a1??n?1?d，注意：
1??n?1??n，更一般地，有an?am??n?m?d，m??n?m??m， a8?a4??8?4?d?a4?4d，4d?a8?a4?22?10?12，2d?6，
a10?a8?2d?22?6?28.
111,,的前10项的和。 2481111解： S10?1?2?3??10（1）
222211111 （2） S10?????22223210211例28 求等比数列,（1）－（2）：?1???1?111?1S???1??10?2?212112?2101?1?1S?1?，10??2?210?2??， ?1210?11023S10?1?10?10?.
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例29 我国从1980年到2000年的全国工农业总产值计划翻两番，那么平均年增长率约是多少？
分析：如果1980年工农业总产值为100%，那么产值翻一番就是200%，翻两番就是翻一番再翻一番，因此产值为400%?4.
解：设平均每年增长率为x， 1980年工农业总产值为1， 1981年工农业总产值为?1?x?, 1982年工农业总产值为?1?x?，
2000年工农业总产值为?1?x?.
这是一个公比为?1?x?的等比数列。由题意，有
202?1?x?20?4.
两边取对数，得 20lg?1?x??lg4，
lg?1?x??lg42lg2lg20.3010????0.03010， 202010101?x?100.03010?1.072，x?0.072?7.2%.
答：平均每年增长率约为7.2%.
注意：lg1?log101?0，为有理数；lg2为无理数，lg2?log102?0.30103；
lg3为无理数，lg3?log103?0.4771；lg4为无理数，lg4?log1004?lg22
?2lg2?0.60206；lg5为无理数，lg5?log105?lg10?lg10?lg2?1?lg2 2?1?0.30103?0.69897；lg6?lg?2?3??lg2?lg3?0.3010?0.4771?0.7781；
lg7?0.8451；lg8?lg23?3?lg2?3?0.3010?0.9030；lg9?lg32?2?lg3
?2?0.4771?0.9542；lg10?1.
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注意事项
以下内容请自行查看，是需要注意的一些地方
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关于专升本我们需要知道的事！
之前“学历是否真的影响就业”的话题上了微博热搜，由此可见，学历很重要。对于一个大专生来说，提升学历的常见的方式，莫过于毕业后的成人教育与大三期间的统招专升本考试，而今天我就给大家分享一些关于专升本考试的经验与总结。
一、慎重考虑。
选择升本时，不管你是因为觉得自己学历低还是想要一个更高的学历，还是想要未来有更好更大的平台，都是需要经过慎重考虑的。这是一项需要花费大量的时间以及精力甚至金钱投入的事情。要经过慎重考虑，不能因为一时的冲动选择升本这不仅很浪费时间也毫无意义。只有非常想让自己未来变得更好的人去选择做这件事才容易坚持和完成，三天打鱼两天晒网和半途而废的人还请你慎重考虑，因为这样不仅浪费时间，还浪费了你的精力真的毫无意义。
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二、了解专升本
首先，要对自己省份的专升本有个认知。大概的信息一定要了解，比如历年专升本招生政策，各院校的招生简章、录取分数线以及招生计划、报考资格。对这些信息都要了解以及掌握，才能为你学习备考、选择报考院校、专业选择提供参考依据。
三、暂定目标院校，确定专业
给自己的学习能力做一个预估给各院校、专业竞争情况进行综合分析，暂时的为自己专升本的目标，这样更有动力去学习。
如果你选定了某个学校，就抓紧了解理想院校往年的招生专业、招生计划、分数线等信息。
如果选定了某个专业，应及时了解该专业的招生院校及专业本身的具体要求。根据省教育厅发布的相关规定，不允许专升本跨大类专业报考，只允许考生报
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考与专科所学专业相同或相近的专业，可能也有个别的省份可以跨大类，但前提是一定要问清楚哟~
为求稳妥，建议考生备考时多选择几所院校，专升本的政策不是一成不变的，每年的专升本政策都会调整的，但是调整浮动不大，尤其是各院校的招生计划人数，如果你多准备几所院校备考，等招生政策出台后会更有选择权。
四、复习常规两大阶段
整个复习要分成两大阶段。前期就是在升本政策没有出来之前，主要以必考科目为主，如英语、或计算机。专业课可以你就可以多学习一些知识点和多刷题了。英语占的时间很多，计算机专看课本就行，做做课后练习与习题册。后期政策出来之后的复习就会有所不同，前期是为自己的学习而打下基础，后期这样负担就会减轻很多。
五、学会调整心态
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不要老是担忧着自己考不上去怎么办。我在准备的时候重来都对自己说“考上去了我可以有好多好处，比如我可以现身在我之前认识的他们学校的本科学生面前，给他们一个惊喜。比如我有很多空闲的时间来完成我想完成的一些目标等。”给自己足够的信心，让自己抛弃所有的顾虑！
六、合理安排复习计划
给自己安排复习计划以及时间安排表。严格的按照计划执行复习的内容。每周做一次小小的总结，看看自己学会了那些知识还有哪些做得不足，每天晚上睡前要回忆一遍自己当天所学的知识看看自己记住了多少，并且要站在出卷人的角度分析整个考查的知识点。
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高升专：第成考高起点数学(文) 第10讲讲义
