微分中值定理的证明及应用
摘要：微分中值定理是数学分析中很重要的基本定理,在数学分析中有着广泛的应用.它是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具.利用微分中值定理可以论证方程的根的存在问题、方程根的个数问题以及根的存在区间问题，也经常用于证明一些含有导数的等式.微分中值定理是罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的统称，它是微分中值定理学中重要的理论基础.拉格朗日中值定理可视为中心定理，以它为中心展开，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特值，而柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理在应用上的推广.
关键词：罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 证明 应用
Abstract: the differential mean value theorem in mathematical analysis is very important basic theorem in the mathematical analysis, is widely used. It is a communication bridge between a function and its derivative, is the application of derivative of function at a certain point of the local nature and in a certain interval on the overall properties of the important tools. The use of differential mean value theorem can be proved equation for the root of the problem, the problem of the number of roots of equations and existence of root interval problems, are also frequently used to prove some containing derivative equation. The differential mean value theorem is the Rolle mean value theorem, Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem of differential mean value theorem collectively, it is of important theoretical basis. Lagrange mean value theorem can be regarded as the center in the center of its expansion theorem, Rolle mean value theorem, Lagrange mean value theorem is a special value, and the Cauchy mean value theorem can be regarded as the Lagrange mean value theorem in application promotion.
Key words: Rolle mean value theorem Lagrange mean value theorem
Cauchy mean value theorem Prove Application
微分中值定理是数学分析中很重要的定理，它是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的统称，微分中值定理在数学分析中有广泛的应用.一般教科书中都是通过构造辅助函数，利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的.下面我将利用不同于教科书的方法来证明这三个中值定理，并列举每个中值定理的应用.
一 罗尔中值定理的证明和应用
1 罗尔中值定理
若函数f满足如下条件： （i）f在闭区间[a,b]上连续； (ii) f在开区间内(a,b)可导； (iii) f(a)?f(b)，
则在（a,b）内至少存在一点?，使得f'(?)?0. 2 罗尔中值定理的证明 （1） 预备知识和两个引理
定义1 闭区间[a,b]的闭子区间族S称为[a,b]的一个完全覆盖,是指对任意x∈[a,b],存在δx>0,使得[a,b]的每个含有x且长度小于δx的闭子区间都属于S.
引理1 若S是闭区间[a,b]的一个完全覆盖,则S包含[a,b]的一个划分,即存在a=x0 证明:用反证法.设S不包含[a,b]的任何划分,则通过对[a,b]重复使用二等分法可得[a,b]的闭子区间列{In},使得In?In+k (n=1,2,
数学与应用数学专业毕业论文--微分中值定理的证明及应用
