第二章一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 考点1不含参数的一元二次不等式的解法
222322
1.下列不等式:①x>0;②-x-x≤5;③ax>2;④x+5x-6>0;⑤mx-5y<0;⑥ax+bx+c>0。其中是一元二次不等式的有( )。
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 答案：D
解析：根据一元二次不等式的定义知①②是一元二次不等式。
2
2.(2024·山西四大名校高一期末)不等式x-x-6<0的解集为( )。 A.(-,)
32
1
1
B.(-,)C.(-3,2)
23
11
D.(-2,3)
答案：D
2
解析：解方程x-x-6=0,得x1=3,x2=-2,
2
∴不等式x-x-6<0的解集为(-2,3)。故选D。 3.下面四个不等式中解集为R的是( )。
A.-x+x+1≥0 B.x-2√5x+5>0C.x+6x+10>0 D.2x-3x+4<0 答案：C
222
解析：利用“Δ”判断,在不等式x+6x+10>0中,Δ=6-40<0,∴不等式x+6x+10>0的解集为R,其他可类似判断。故选C。
4.(2024·山东济南一中高二上学期期中)在R上定义运算:ab=ab+2a+b,则满足x (x-2)<0的实数x的取值范围为( )。
A.(0,2) B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 答案：B
解析：∵x(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0, 2
∴x+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0,解得-2 2 5.不等式0≤x-2x-3<5的解集为 。 答案：{x|-2 22 解析：由x-2x-3≥0得x≤-1或x≥3;由x-2x-3<5得-2 6.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )。 A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n 7.(2024·安徽六安一中高一期末)若0 解析：∵0 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 外,∴(x-a)·(??-??)>0的解集为{??|????},故选C。 8.已知2a+1<0,则关于x的不等式x-4ax-5a>0的解集是( )。 A.{x|x<5a或x>-a} B.{x|x>5a或x<-a}C.{x|-a 解析：方程x-4ax-5a=0的两根为-a,5a。∵2a+1<0,∴a<-,∴-a>5a。结合函数y=x-4ax-5a2 2 2 2 2 11 1 22 的图像,得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}。故选A。 22 9.已知函数f(x)=3x+(4-m)x-6m,g(x)=2x-x-m。 (1)若m=1,求不等式f(x)>0的解集; 2 答案：当m=1时,f(x)=3x+3x-6, 2 即3x+3x-6>0, 2 ∴x+x-2>0,∴x>1或x<-2, ∴解集为(-∞,-2)∪(1,+∞)。 (2)若m>0,求关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集。 22 答案：f(x)≤g(x),即3x+(4-m)x-6m≤2x-x-m, 2 ∴x+(5-m)x-5m≤0,∴(x+5)(x-m)≤0。 ∵m>0,∴-5≤x≤m,∴不等式的解集为[-5,m]。 2 10.已知函数f(x)=ax-(2a+1)x+2。 (1)当a=2时,解关于x的不等式f(x)≤0; 2 答案：当a=2时,f(x)=2x-5x+2≤0,可得(2x-1)(x-2)≤0, ∴2≤x≤2,∴解集为[2,2]。 (2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0。 2 答案：ax-(2a+1)x+2≤0,即 1 1 a(??-??)(x-2)≤0。 ①当0 2 ?? ?? 1 1 1 1 ②当a=时,有=2,解得x=2; 21 ??1 11 ③当a>2时,有??<2,解得??≤x≤2。 综上:①当0 211 1 1 1 ③当a>2时,不等式的解集为{??|??≤??≤2}。 考点3 已知不等式的解集求参数值 2 11.(2024·黑龙江实验中学高一期末)已知关于x的不等式x-ax-b<0的解集是(2,3),则a+b的值是( )。 A.-11 B.11 C.-1 D.1 答案：C 1 解析：若关于x的不等式x-ax-b<0的解集是(2,3),则2,3是方程x-ax-b=0的根,故a=5,b=-6,故a+b=-1。故选C。 12.(2024·湖北重点高中联考协作体高一期中)已知不等式ax-bx-1≥0的解集是[3,2],则不等式x-bx-a<0的解集是( )。 A.(2,3)B.(3,2)C.(-∞,3)∪(2,+∞)D.(-3,-2) 答案：D 解析：∵不等式ax-bx-1≥0的解集是[,],∴a<0, 2 2 2 22 11 1111 13 12 方程ax-bx-1=0的两个根为2,3, ∴-??=2+3,??=6, ∴a=-6,b=-5,∴x-bx-a<0?x+5x+6<0, ∴(x+2)(x+3)<0, ∴不等式的解集为(-3,-2)。故选D。 2 13.(2024·山东寿光第一中学高二月考)若关于x的不等式x-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则实数a的取值范围是( )。 A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5) C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5] 答案：D 解析：原不等式可等价于(x-a)(x-1)<0,不等式的解集中恰有3个整数,当a>1时,4 2 14.二次函数y=ax+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表: 2 2 2 11 -??11-11 x y 2 -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 则不等式ax+bx+c>0的解集是 。 答案：{x|x<-2或x>3} 2 解析：由表知当x=-2或x=3时,y=0,∴二次函数y=ax+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3)。又∵当x=1时,y=-6,∴a=1。 2 ∴不等式ax+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}。 考点4 与一元二次不等式有关的恒成立问题 2 15.已知不等式x+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )。 A.[-4,4] B.(-4,4) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 答案：A 22 解析：欲使不等式x+ax+4<0的解集为空集,则Δ=a-16≤0,∴-4≤a≤4。 22 16.(2024·重庆綦江中学高一月考)若不等式ax+2ax-4<2x+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是( )。 A.(-2,2] B.(-2,2) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2] 答案：A 222 解析：不等式ax+2ax-4<2x+4x,可化为(a-2)x+2(a-2)x-4<0。 当a-2=0,即a=2时,恒成立,符合题意; ??-2<0, 当a-2≠0,即a≠2时,要使不等式恒成立,需{解得-2 ??<0, 综上所述,a的取值范围为(-2,2],故选A。 考点5 一元二次不等式的实际应用问题 17.(2024·银川一中单元检测)国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策。现知某种酒每瓶70元,不加收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(叫作税率R%),则每年的销售量减少10R万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元,则R应怎样确定? 答案：解:设产销量每年为x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收的附加税金额为70x·R%万元, 其中x=100-10R。 由题意,得70(100-10R)·R%≥112, 2 整理,得R-10R+16≤0。 2 因为Δ=36>0,所以方程R-10R+16=0的两个实数根分别为R1=2,R2=8。 2 由二次函数y=R-10R+16的图像,知不等式的解集为{R|2≤R≤8}。 所以当2≤R≤8时,每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元。 18.(2024·西北工大附中单元检测)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时。本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时。经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)。该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时。 [注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)] (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式; 答案：设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知用电量增至??-0.4+a,电力部门的收益为 ?? y=(??-0.4+??)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75)。 (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 答案：依题意有 0.2??({??-0.4+??)(??-0.3)≥[??×(0.8-0.3)](1+20%), 0.55≤??≤0.75, ??2-1.1??+0.3≥0, 整理得{ 0.55≤??≤0.75, 解此不等式组得0.60≤x≤0.75。 答:当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。 考点6 二次函数与一元二次方程、不等式的综合问题 19.(2024·江苏无锡第一中学高一下学期期末)在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2],使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 。 答案：(-3,2) 解析：∵存在x∈[1,2],使不等式(m-x)※(m+x)<4成立, ∴存在x∈[1,2],使不等式(m-x+1)×(m+x)<4成立, ?? ∴存在x∈[1,2],使不等式x-x+4>m+m成立, 22 ∵x∈[1,2],∴函数y=x-x+4的最大值为2-2+4=6。 2 ∴6>m+m,∴-3 4-??2≤0, 20.(2024·黑龙江大庆中学高一下学期期中)解不等式组{2 2??-7??-15<0。答案：解:由4-x≤0,解得x≥2或x≤-2; 由2x-7x-15<0,解得- 2 2 2 22 3 ??≥2或??≤-2,4-??2≤0, ∴{2即{解得2≤x<5。 2??-7??-15<0,-3 2 ∴不等式组的解集为{x|2≤x<5}。 2 21.(2024·广西贺州高二上学期期末)已知关于x的不等式ax+3x+2>0(a∈R)。 2 (1)若不等式ax+3x+2>0的解集为{x|b 22 答案：由题意可知,x=1是ax+3x+2=0的一个解,将x=1代入ax+3x+2=0,得a=-5。 22 ∴不等式ax+3x+2>0可化为-5x+3x+2>0, 再转化为(x-1)(5x+2)<0, ∴原不等式解集为{??|-5 52 2 (2)求关于x的不等式ax+3x+2>-ax-1(其中a>0)的解集。 22 答案：不等式ax+3x+2>-ax-1可化为ax+(a+3)x+3>0, 即(ax+3)(x+1)>0。 当0 2 不等式的解集为{??|??>-1或??<-}; ?? 3 当a=3时,-=-1,不等式的解集为{x|x≠-1}; ??3 3 当a>3时,->-1,不等式的解集为{??|??<-1或??>-}。 ?? ?? 3 综上所述,原不等式解集为 ①当0 ③当a>3时,{??|??<-1或??>-}。 ??3 3
新教材高中数学2.3二次函数与一元二次方程、不等式一课一练(含解析)人教A版必修一
